Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043657

Пункт а. Все числа в основаниях — степени двойки: $8=2^3$, $4=2^2$. Перепишем степени с основанием $2$. При возведении степени в степень показатели перемножаются, причём множитель умножает показатель целиком:

$$8^{1-4x}=2^{3(1-4x)}=2^{3-12x},\qquad 4^{1{,}5-3x}=2^{2(1{,}5-3x)}=2^{3-6x}.$$

Показатель $-12x$ вдвое больше $-6x$, значит, первая степень — квадрат второй. Введём новую переменную $t=2^{-6x}$, тогда $2^{-12x}=t^2$, а $t\gt 0$ (степень положительного числа всегда положительна).

$$2^{3-12x}=8t^2,\qquad 2^{3-6x}=8t.$$

Уравнение принимает вид $8t^2-21\cdot 8t+640=0$. Разделим на $8$:

$$t^2-21t+80=0.$$

Дискриминант $D=21^2-4\cdot 80=441-320=121=11^2$, корни $t=\dfrac{21\pm 11}{2}$, то есть $t=16$ и $t=5$. Оба положительны, оба подходят.

Вернёмся к $x$.

$2^{-6x}=16=2^4$: показатели равны, $-6x=4$, $x=-\dfrac23$.

$2^{-6x}=5$: по определению логарифма $-6x=\log_2 5$, $x=-\dfrac16\log_2 5$.

Пункт б. Отрезок $[-1;-0{,}5]$.

$-\dfrac23\approx -0{,}67$ — лежит на отрезке: $-1\lt -\dfrac23\lt -\dfrac12$.

Для второго корня оценим $\log_2 5$: $2^2=4\lt 5\lt 8=2^3$, значит, $2\lt\log_2 5\lt 3$. Тогда $-\dfrac16\log_2 5$ лежит между $-\dfrac36=-0{,}5$ и $-\dfrac26$. Строго больше $-0{,}5$ — значит, правее правого конца, на отрезок не попадает.

Проверим себя на $x=-\dfrac23$: $8^{1+\frac83}=8^{\frac{11}{3}}=2^{11}=2048$; $4^{1{,}5+2}=4^{3{,}5}=2^7=128$. Тогда $2048-21\cdot 128+640=2048-2688+640=0$ — верно.