Показательны… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043658

Пункт а. Оба основания — степени двойки: $4=2^2$, $32=2^5$. Перейдём к основанию $2$, умножая показатель целиком:

$$4^{1-10x}=2^{2-20x},\qquad 32^{0{,}4-2x}=2^{5\cdot 0{,}4-5\cdot 2x}=2^{2-10x}.$$

Теперь видно, что показатель $-20x$ вдвое больше $-10x$. Обозначим $t=2^{-10x}$, $t\gt 0$. Тогда $2^{-20x}=t^2$ и

$$2^{2-20x}=4t^2,\qquad 2^{2-10x}=4t.$$

Уравнение: $4t^2-29\cdot 4t+400=0$. Разделим на $4$:

$$t^2-29t+100=0.$$

$D=29^2-400=841-400=441=21^2$, $t=\dfrac{29\pm 21}{2}$: $t=25$ или $t=4$. Оба положительны.

$2^{-10x}=4=2^2$: $-10x=2$, $x=-0{,}2$.

$2^{-10x}=25$: $-10x=\log_2 25=2\log_2 5$, $x=-\dfrac{2\log_2 5}{10}=-\dfrac15\log_2 5$.

Пункт б. Отрезок $[-0{,}5;0]$. Корень $-0{,}2$ на нём лежит.

Второй корень: $-\dfrac15\log_2 5\ge -0{,}5$ равносильно $\log_2 5\le 2{,}5$, то есть $5\le 2^{2{,}5}$. Возведём в квадрат обе положительные части: $25\le 2^5=32$ — верно. А $-\dfrac15\log_2 5\lt 0$, потому что $\log_2 5\gt 0$. Значит, второй корень тоже на отрезке.

Проверим себя на $x=-0{,}2$: $4^{1+2}=64$, $32^{0{,}4+0{,}4}=32^{0{,}8}=2^4=16$. Тогда $64-29\cdot 16+400=64-464+400=0$ — верно.