Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043677

Слева куб синуса, справа — косинус двойного угла со сдвигом $\dfrac{3\pi}{2}$. План такой: упростить правую часть, разложить уравнение на множители и разобрать каждый множитель.

Пункт а. Сдвиг на $\dfrac{3\pi}{2}$ — это полный оборот $2\pi$ минус $\dfrac{\pi}{2}$. Полный оборот значение косинуса не меняет, поэтому

$$\cos\left(2x+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x.$$

Последнее равенство — формула приведения: $\cos\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ (косинус чётный). Проверим на частном значении $x=\dfrac{\pi}{4}$: слева $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos 2\pi=1$, справа $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ — сходится.

Уравнение: $4\sqrt3\sin^{3}x=2\sin x\cos x$. Переносим всё влево и выносим $2\sin x$:

$$2\sin x\left(2\sqrt3\sin^{2}x-\cos x\right)=0.$$

Случай 1. $\sin x=0$: правая и левая точки окружности, $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. Шаг здесь $\pi$, а не $2\pi$: синус равен нулю и при $x=\pi$, и при $x=2\pi$.

Случай 2. $2\sqrt3\sin^{2}x-\cos x=0$. Косинус стоит в первой степени, поэтому оставим именно его, а квадрат синуса заменим: $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$.

$$2\sqrt3-2\sqrt3\cos^{2}x-\cos x=0\quad\Leftrightarrow\quad 2\sqrt3\cos^{2}x+\cos x-2\sqrt3=0.$$

Пусть $t=\cos x$, $-1\leqslant t\leqslant 1$. Дискриминант: $D=1^{2}-4\cdot2\sqrt3\cdot(-2\sqrt3)=1+4\cdot12=49$. Корни:

$$t_1=\dfrac{-1+7}{4\sqrt3}=\dfrac{6}{4\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\qquad t_2=\dfrac{-1-7}{4\sqrt3}=-\dfrac{2}{\sqrt3}.$$

Второй корень меньше $-1$ (его квадрат $\dfrac43\gt 1$), косинус таким не бывает. Остаётся $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: точки $\dfrac{\pi}{6}$ и $-\dfrac{\pi}{6}$, $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Сдвинем отрезок на два полных оборота — вычтем $4\pi$ из обоих концов: $\left[\dfrac{9\pi}{2}-4\pi;\,6\pi-4\pi\right]=\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$. Корни на этом отрезке найти проще, а потом прибавим $4\pi$ обратно.

На $\left[\dfrac{\pi}{2};\,2\pi\right]$: из серии $\pi k$ лежат $\pi$ и $2\pi$; из серии $\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ — ничего ($\dfrac{\pi}{6}\lt\dfrac{\pi}{2}$, а $\dfrac{13\pi}{6}\gt 2\pi$); из серии $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ — точка $2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ (а $-\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{23\pi}{6}$ — вне).

Прибавляем $4\pi$: $\pi+4\pi=5\pi$, $\dfrac{11\pi}{6}+\dfrac{24\pi}{6}=\dfrac{35\pi}{6}$, $2\pi+4\pi=6\pi$.

Проверим $x=\dfrac{35\pi}{6}$: это та же точка, что $-\dfrac{\pi}{6}$, поэтому $\sin x=-\dfrac12$ и левая часть $4\sqrt3\cdot\left(-\dfrac18\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Справа $\sin 2x$, где $2x=\dfrac{35\pi}{3}$ — та же точка, что $-\dfrac{\pi}{3}$, и $\sin 2x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Совпало.