Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043670

Пункт а. Начнём со знаменателя. По формуле приведения $\sin(2x-\pi)=-\sin 2x=-2\sin x\cos x$.

Знаменатель не может быть нулём, поэтому $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0$ — это область допустимых значений.

Числитель: вынесем $2\sin x$: $4\sin^3x-2\sin x=2\sin x\,(2\sin^2x-1)$. По формуле двойного угла $2\sin^2x-1=-\cos 2x$, так что числитель равен $-2\sin x\cos 2x$.

Тогда при $\sin x\ne 0$ дробь равна

$$\dfrac{-2\sin x\cos 2x}{-2\sin x\cos x}=\dfrac{\cos 2x}{\cos x}.$$

Уравнение $\dfrac{\cos 2x}{\cos x}=1$ при $\cos x\ne 0$ равносильно $\cos 2x=\cos x$. Распишем $\cos 2x=2\cos^2x-1$ и обозначим $c=\cos x$:

$$2c^2-c-1=0,\qquad D=1+8=9,\qquad c=\dfrac{1\pm 3}{4}.$$

$c=1$ или $c=-\dfrac12$.

Если $\cos x=1$, то $\sin x=0$ — это запрещено ОДЗ. Корень посторонний.

Если $\cos x=-\dfrac12$, то $\sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\ne 0$ — подходит: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[-3\pi;-\dfrac{\pi}{2}\right]$ длиннее полного оборота, поэтому переберём точки серий.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: при $k=-1$ — $-\dfrac{4\pi}{3}$, на отрезке; при $k=-2$ — $-\dfrac{10\pi}{3}\lt -3\pi$, вне; при $k=0$ — $\dfrac{2\pi}{3}$, вне.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: при $k=0$ — $-\dfrac{2\pi}{3}$; так как $\dfrac23\gt\dfrac12$, эта точка левее $-\dfrac{\pi}{2}$, на отрезке. При $k=-1$ — $-\dfrac{8\pi}{3}$, а $-3\pi\lt -\dfrac{8\pi}{3}$ — на отрезке. При $k=-2$ — $-\dfrac{14\pi}{3}$, вне.

Проверим себя на $x=-\dfrac{2\pi}{3}$: $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin^3x=-\dfrac{3\sqrt3}{8}$. Числитель $-\dfrac{3\sqrt3}{2}+\sqrt3=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Знаменатель $\sin\left(-\dfrac{4\pi}{3}-\pi\right)=\sin\left(-\dfrac{7\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Дробь равна $1$ — верно.