Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043684

В уравнении есть $\sin^{2}x$ и $\cos(-x)$. Сведём всё к одной функции — косинусу — и получим квадратное уравнение.

Пункт а. Косинус чётный: точки $x$ и $-x$ на окружности симметричны относительно горизонтальной оси, абсциссы у них одинаковые. Поэтому $\cos(-x)=\cos x$.

Квадрат синуса заменим по основному тригонометрическому тождеству: $\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$.

$$2\left(1-\cos^{2}x\right)-3\cos x-3=0\quad\Leftrightarrow\quad -2\cos^{2}x-3\cos x-1=0.$$

Умножим на $-1$, чтобы старший коэффициент стал положительным: $2\cos^{2}x+3\cos x+1=0$.

Пусть $t=\cos x$. $D=9-4\cdot2\cdot1=1$, корни $t=\dfrac{-3+1}{4}=-\dfrac12$ и $t=\dfrac{-3-1}{4}=-1$. Оба лежат в $[-1;1]$.

$\cos x=-1$: это одна точка окружности — левая, $x=\pi+2\pi k$.

$\cos x=-\dfrac12$: вертикальная прямая с абсциссой $-\dfrac12$ пересекает окружность в двух точках — во второй четверти ($\dfrac{2\pi}{3}$) и в третьей ($-\dfrac{2\pi}{3}$). Получаем $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[2\pi;\,\dfrac{7\pi}{2}\right]$, в шестых долях — $\left[\dfrac{12\pi}{6};\,\dfrac{21\pi}{6}\right]$. Запись $\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$ — это две отдельные серии, номера $k$ для них подбираем независимо.

Серия $\pi+2\pi k=\dfrac{(6+12k)\pi}{6}$: $12\leqslant 6+12k\leqslant 21$, то есть $6\leqslant 12k\leqslant 15$, $k=1$: точка $3\pi$.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(4+12k)\pi}{6}$: $8\leqslant 12k\leqslant 17$, $k=1$: точка $\dfrac{16\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{3}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(-4+12k)\pi}{6}$: $16\leqslant 12k\leqslant 25$, $k=2$: точка $\dfrac{20\pi}{6}=\dfrac{10\pi}{3}$. Заметь: здесь подошёл $k=2$, а не $k=1$, как у знака «плюс».

Проверим $x=\dfrac{10\pi}{3}$: это та же точка, что $\dfrac{4\pi}{3}$, $\cos x=-\dfrac12$, $\sin^{2}x=\dfrac34$. Слева $2\cdot\dfrac34-3\cdot\left(-\dfrac12\right)-3=\dfrac32+\dfrac32-3=0$. Верно.