Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043671

Пункт а. Знаменатель по формуле приведения: $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x=2\sin x\cos x$. Он не должен быть нулём: $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0$.

Числитель: $4\cos^3x-6\cos x=2\cos x\,(2\cos^2x-3)$. У числителя и знаменателя общий множитель $2\cos x$, который по ОДЗ не равен нулю, поэтому его можно сократить:

$$\dfrac{2\cos x\,(2\cos^2x-3)}{2\sin x\cos x}=\dfrac{2\cos^2x-3}{\sin x}=3.$$

Умножим на $\sin x\ne 0$ и заменим $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$2-2\sin^2x-3=3\sin x\quad\Leftrightarrow\quad 2\sin^2x+3\sin x+1=0.$$

Обозначим $s=\sin x$: $2s^2+3s+1=0$, $D=9-8=1$, $s=\dfrac{-3\pm 1}{4}$: $s=-\dfrac12$ или $s=-1$.

При $\sin x=-1$ получается $\cos x=0$ — это запрещено ОДЗ, корень посторонний.

При $\sin x=-\dfrac12$ имеем $\cos x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}\ne 0$ — подходит. Точки в IV и III четвертях: $x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ и $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};4\pi\right]$ разобьём на два куска: $\left[\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right]$ (IV четверть) и $[2\pi;4\pi]$ (полный оборот).

На $\left[\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right]$ лежит точка IV четверти $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi=\dfrac{11\pi}{6}$.

На полном обороте $[2\pi;4\pi]$ — обе точки: $-\dfrac{5\pi}{6}+4\pi=\dfrac{19\pi}{6}$ и $-\dfrac{\pi}{6}+4\pi=\dfrac{23\pi}{6}$.

Проверим себя на $x=\dfrac{19\pi}{6}$: это точка $\dfrac{7\pi}{6}$, $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Числитель $4\cdot\left(-\dfrac{3\sqrt3}{8}\right)+3\sqrt3=\dfrac{3\sqrt3}{2}$, знаменатель $\sin 2x=\sin\dfrac{7\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, дробь $3$ — верно.