Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043674

В уравнении три слагаемых, и в двух из них стоит $\sin x$. Вынесем его за скобку — и посмотрим, что получится рядом с $\cos 2x$.

Пункт а. Сгруппируем слагаемые с синусом:

$$\sin x\cos 2x+\sin x-\sqrt3\cos^{2}x=\sin x\left(\cos 2x+1\right)-\sqrt3\cos^{2}x.$$

Вспомним формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x=2\cos^{2}x-1$. Значит, $\cos 2x+1=2\cos^{2}x$, и уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos^{2}x-\sqrt3\cos^{2}x=0.$$

В обоих слагаемых есть $\cos^{2}x$. Выносим его (делить на него нельзя — он может равняться нулю, и тогда мы потеряем корни):

$$\cos^{2}x\left(2\sin x-\sqrt3\right)=0.$$

Проверим разложение, раскрыв скобки: $\cos^{2}x\cdot2\sin x-\cos^{2}x\cdot\sqrt3$ — совпадает с левой частью. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю; оба определены при всех $x$.

Случай 1. $\cos^{2}x=0$, то есть $\cos x=0$. Это верхняя и нижняя точки окружности, они повторяются через половину оборота: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Случай 2. $2\sin x-\sqrt3=0$, то есть $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$. На окружности это две точки: угол $\dfrac{\pi}{3}$ в первой четверти и симметричный ему относительно вертикальной оси угол $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ во второй четверти. Получаем $x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$ и $x=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Переведём всё в шестые доли $\pi$: отрезок $\left[\dfrac{5\pi}{2};\,4\pi\right]=\left[\dfrac{15\pi}{6};\,\dfrac{24\pi}{6}\right]$. Теперь достаточно сравнивать числители.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+\pi k=\dfrac{(3+6k)\pi}{6}$: нужно $15\leqslant 3+6k\leqslant 24$, то есть $12\leqslant 6k\leqslant 21$ и $2\leqslant k\leqslant 3{,}5$. Подходят $k=2$ и $k=3$: точки $\dfrac{15\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{2}$ и $\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}$.

Серия $\dfrac{\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(2+12k)\pi}{6}$: нужно $15\leqslant 2+12k\leqslant 24$, то есть $13\leqslant 12k\leqslant 22$. Целых $k$ здесь нет ($k=1$ даёт $12\lt 13$, $k=2$ даёт $24\gt 22$).

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(4+12k)\pi}{6}$: нужно $11\leqslant 12k\leqslant 20$, подходит $k=1$: точка $\dfrac{16\pi}{6}=\dfrac{8\pi}{3}$.

Проверим себя на корне $x=\dfrac{8\pi}{3}$. Это та же точка окружности, что и $\dfrac{2\pi}{3}$: $\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos x=-\dfrac12$, $\cos^{2}x=\dfrac14$, а $\cos 2x=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12$. Левая часть: $\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\dfrac12\right)-\sqrt3\cdot\dfrac14+\dfrac{\sqrt3}{2}=-\dfrac{\sqrt3}{4}-\dfrac{\sqrt3}{4}+\dfrac{\sqrt3}{2}=0$. Верно.