Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043676

Слева куб косинуса, справа — косинус «сдвинутого» двойного угла. Сначала упростим правую часть формулой приведения, а потом соберём всё в произведение.

Пункт а. Формула приведения: при сдвиге на $\dfrac{\pi}{2}$ косинус превращается в синус. Знак определим по четверти: если $2x$ — маленький положительный угол (первая четверть), то $2x+\dfrac{\pi}{2}$ попадает во вторую четверть, где косинус отрицательный. Значит,

$$\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin 2x=-2\sin x\cos x.$$

Уравнение: $4\sqrt3\cos^{3}x=-2\sin x\cos x$. Переносим всё влево и выносим общий множитель $2\cos x$ (делить на $\cos x$ нельзя — он может быть нулём):

$$2\cos x\left(2\sqrt3\cos^{2}x+\sin x\right)=0.$$

Случай 1. $\cos x=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. Подстановка подтверждает: при $x=\dfrac{\pi}{2}$ слева $0$, справа $\cos\dfrac{3\pi}{2}=0$.

Случай 2. $2\sqrt3\cos^{2}x+\sin x=0$. Заменим $\cos^{2}x=1-\sin^{2}x$:

$$2\sqrt3-2\sqrt3\sin^{2}x+\sin x=0\quad\Leftrightarrow\quad 2\sqrt3\sin^{2}x-\sin x-2\sqrt3=0.$$

Пусть $t=\sin x$, где $-1\leqslant t\leqslant 1$. Дискриминант: $D=(-1)^{2}-4\cdot2\sqrt3\cdot(-2\sqrt3)=1+48=49$. Корни:

$$t_1=\dfrac{1+7}{4\sqrt3}=\dfrac{2}{\sqrt3},\qquad t_2=\dfrac{1-7}{4\sqrt3}=-\dfrac{6}{4\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}.$$

Значение $\dfrac{2}{\sqrt3}$ больше единицы: $\left(\dfrac{2}{\sqrt3}\right)^{2}=\dfrac43\gt 1$. Синус таким быть не может. Остаётся $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$: это точки $-\dfrac{\pi}{3}$ (четвёртая четверть) и $-\dfrac{2\pi}{3}$ (третья четверть), $x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Для каждой серии запишем двойное неравенство и найдём целые $k$. Удобно мерить всё в шестых долях $\pi$: отрезок $\left[-4\pi;\,-\dfrac{5\pi}{2}\right]=\left[-\dfrac{24\pi}{6};\,-\dfrac{15\pi}{6}\right]$.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+\pi k=\dfrac{(3+6k)\pi}{6}$: $-24\leqslant 3+6k\leqslant -15$, то есть $-27\leqslant 6k\leqslant -18$ и $-4{,}5\leqslant k\leqslant -3$. Подходят $k=-4$ и $k=-3$: точки $-\dfrac{21\pi}{6}=-\dfrac{7\pi}{2}$ и $-\dfrac{15\pi}{6}=-\dfrac{5\pi}{2}$ (правый конец отрезка, он входит).

Серия $-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(-2+12k)\pi}{6}$: $-22\leqslant 12k\leqslant -13$ — целых $k$ нет.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(-4+12k)\pi}{6}$: $-20\leqslant 12k\leqslant -11$, подходит $k=-1$: точка $-\dfrac{16\pi}{6}=-\dfrac{8\pi}{3}$.

Проверим $x=-\dfrac{8\pi}{3}$: это та же точка, что $-\dfrac{2\pi}{3}$, поэтому $\cos x=-\dfrac12$ и левая часть $4\sqrt3\cdot\left(-\dfrac18\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Справа $-\sin 2x$, где $2x=-\dfrac{16\pi}{3}$ — та же точка, что $\dfrac{2\pi}{3}$, и $\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$. Получаем $-\dfrac{\sqrt3}{2}$ — совпало.