Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043675

Здесь смешаны $\cos x$, $\cos 2x$ и $\sin^{2}x$. Попробуем добиться, чтобы во всех слагаемых появился один и тот же множитель.

Пункт а. Сгруппируем два слагаемых с $\cos x$:

$$\cos x\cos 2x-\cos x-\sin^{2}x=\cos x\left(\cos 2x-1\right)-\sin^{2}x.$$

Формула косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ даёт $\cos 2x-1=-2\sin^{2}x$. Подставим:

$$-2\sin^{2}x\cos x-\sin^{2}x=0\quad\Leftrightarrow\quad -\sin^{2}x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Проверим раскрытием: $-\sin^{2}x\cdot2\cos x-\sin^{2}x$ — то же самое. Произведение равно нулю, когда равен нулю один из множителей (число $-1$ нулём не бывает).

Тот же результат получается и другим путём: если всё выразить через $t=\cos x$ (подставить $\cos 2x=2t^{2}-1$ и $\sin^{2}x=1-t^{2}$), выйдет $2t^{3}+t^{2}-2t-1=0$, то есть $t^{2}(2t+1)-(2t+1)=(2t+1)(t^{2}-1)=0$. Это те же условия: $\cos x=\pm1$ (то есть $\sin x=0$) или $\cos x=-\dfrac12$.

Случай 1. $\sin^{2}x=0$, то есть $\sin x=0$: правая и левая точки окружности, $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Случай 2. $\cos x=-\dfrac12$. Косинус равен $\dfrac12$ у угла $\dfrac{\pi}{3}$, а у угла $\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$ он равен $-\dfrac12$. Вторая точка симметрична относительно горизонтальной оси: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[-\dfrac{5\pi}{2};\,-\pi\right]$ в шестых долях $\pi$: $\left[-\dfrac{15\pi}{6};\,-\dfrac{6\pi}{6}\right]$.

Серия $\pi k=\dfrac{6k\pi}{6}$: $-15\leqslant 6k\leqslant -6$, то есть $-2{,}5\leqslant k\leqslant -1$. Подходят $k=-2$ и $k=-1$: точки $-2\pi$ и $-\pi$.

Серия $\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(4+12k)\pi}{6}$: $-15\leqslant 4+12k\leqslant -6$, то есть $-19\leqslant 12k\leqslant -10$. Подходит только $k=-1$: $\dfrac{(4-12)\pi}{6}=-\dfrac{8\pi}{6}=-\dfrac{4\pi}{3}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k=\dfrac{(-4+12k)\pi}{6}$: $-15\leqslant -4+12k\leqslant -6$, то есть $-11\leqslant 12k\leqslant -2$. Целых $k$ нет: $k=0$ даёт $0\gt -2$, $k=-1$ даёт $-12\lt -11$.

Проверим $x=-\dfrac{4\pi}{3}$: это та же точка, что $\dfrac{2\pi}{3}$, поэтому $\cos x=-\dfrac12$, $\sin^{2}x=\dfrac34$, $\cos 2x=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12$. Левая часть: $\left(-\dfrac12\right)\cdot\left(-\dfrac12\right)-\dfrac34-\left(-\dfrac12\right)=\dfrac14-\dfrac34+\dfrac12=0$. Верно.