Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043667

Пункт а. Слева стоит произведение квадратов двух косинусов. Сначала упростим само произведение $\cos\alpha\cos\beta$, где $\alpha=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}$, $\beta=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}$. По формуле произведения косинусов

$$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$

Здесь $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}$, и $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$; $\alpha+\beta=x$. Значит, $\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\cos x$.

Левая часть: $3\cdot\left(\dfrac12\cos x\right)^2=\dfrac34\cos^2x$. Уравнение:

$$\dfrac34\cos^2x=\cos^4x\quad\Leftrightarrow\quad \cos^2x\left(\cos^2x-\dfrac34\right)=0.$$

1) $\cos x=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$.

2) $\cos^2x=\dfrac34$, то есть $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ или $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. На окружности это четыре точки: $\pm\dfrac{\pi}{6}$ и $\pi\pm\dfrac{\pi}{6}$. Они попарно противоположны, поэтому записываются двумя сериями с шагом $\pi$: $x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $[3\pi;4\pi]$: от левой точки окружности против часовой стрелки через нижнюю $\dfrac{7\pi}{2}$ к правой. На этом отрезке $\cos x$ возрастает от $-1$ до $1$, поэтому каждое значение косинуса принимается ровно один раз.

$\cos x=0$: $x=\dfrac{7\pi}{2}$.

$\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$: точка III четверти, $x=3\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{19\pi}{6}$.

$\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$: точка IV четверти, $x=4\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{23\pi}{6}$.

Проверим себя на $x=\dfrac{19\pi}{6}$: $\cos^2x=\dfrac34$, слева $\dfrac34\cdot\dfrac34=\dfrac{9}{16}$, справа $\cos^4x=\dfrac{9}{16}$ — верно.