Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043666

Пункт а. Обозначим $a=\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}$. Второй аргумент больше на $\dfrac{\pi}{2}$: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}=a+\dfrac{\pi}{2}$. По формуле приведения $\sin\left(a+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos a$.

Значит, произведение синусов — это $\sin a\cos a=\dfrac12\sin 2a$. А $2a=x-\dfrac{\pi}{2}$, и $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos x$. Итак,

$$\sin\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac12\cos x.$$

Левая часть уравнения — удвоенный квадрат этого произведения: $2\cdot\left(-\dfrac12\cos x\right)^2=2\cdot\dfrac14\cos^2x=\dfrac12\cos^2x$.

$$\dfrac12\cos^2x=\cos^4x\quad\Leftrightarrow\quad \cos^2x\left(2\cos^2x-1\right)=0.$$

1) $\cos x=0$: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$.

2) $2\cos^2x-1=0$. По формуле двойного угла $2\cos^2x-1=\cos 2x$, так что $\cos 2x=0$: $2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $[-3\pi;-2\pi]$ на окружности: $-3\pi$ — левая точка, $-2\pi$ — правая. Двигаясь от $-3\pi$ против часовой стрелки, проходим нижнюю точку $-\dfrac{5\pi}{2}$. Это нижняя полуокружность.

Серия $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки; на нижней полуокружности лежит $-\dfrac{5\pi}{2}$.

Серия $\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2}$ — середины четвертей; на нижней полуокружности это середина III четверти $-3\pi+\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{11\pi}{4}$ и середина IV четверти $-2\pi-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{9\pi}{4}$.

Концы $-3\pi$ и $-2\pi$ корнями не являются: там $\cos x=\pm 1$, и $\dfrac12\cdot 1\ne 1$.

Проверим себя на $x=-\dfrac{9\pi}{4}$: $\cos^2x=\dfrac12$, правая часть $\cos^4x=\dfrac14$, левая $\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14$ — верно.