Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043665

Пункт а. Слева разность четвёртых степеней. Её можно разложить как разность квадратов: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$.

$$\cos^4\dfrac{x}{4}-\sin^4\dfrac{x}{4}=\left(\cos^2\dfrac{x}{4}-\sin^2\dfrac{x}{4}\right)\left(\cos^2\dfrac{x}{4}+\sin^2\dfrac{x}{4}\right).$$

Вторая скобка равна $1$ по основному тождеству, а первая — это косинус двойного угла: $\cos\dfrac{x}{2}$.

Правая часть по формуле приведения: $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos x$.

$$\cos\dfrac{x}{2}=-\cos x.$$

Выразим $\cos x$ через половинный угол: $\cos x=2\cos^2\dfrac{x}{2}-1$. Обозначим $t=\cos\dfrac{x}{2}$:

$$t=-(2t^2-1)\quad\Leftrightarrow\quad 2t^2+t-1=0.$$

$D=1+8=9$, $t=\dfrac{-1\pm 3}{4}$: $t=\dfrac12$ или $t=-1$.

$\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac12$: $\dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+4\pi k$.

$\cos\dfrac{x}{2}=-1$: $\dfrac{x}{2}=\pi+2\pi k$, $x=2\pi+4\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Удобно отбирать не $x$, а $y=\dfrac{x}{2}$. Отрезок $x\in[\pi;5\pi]$ превращается в $y\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right]$ — ровно один полный оборот, начиная с верхней точки.

На этом обороте: $\cos y=-1$ в точке $y=\pi$; $\cos y=\dfrac12$ в точках $y=\dfrac{5\pi}{3}$ (IV четверть) и $y=2\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{3}$ — она меньше $\dfrac{5\pi}{2}$, так как $\dfrac{14\pi}{6}\lt\dfrac{15\pi}{6}$. Точка $y=\dfrac{\pi}{3}$ левее начала.

Возвращаемся к $x=2y$: $2\pi$, $\dfrac{10\pi}{3}$, $\dfrac{14\pi}{3}$.

Проверим себя на $x=\dfrac{10\pi}{3}$: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{5\pi}{3}$, $\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac12$; $\cos x=\cos\dfrac{10\pi}{3}=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12$, и $-\cos x=\dfrac12$ — равенство верно.