Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043664

Здесь перемножаются синусы и косинусы разных углов. План такой: превратить произведение в сумму, а потом собрать сумму обратно в произведение — так появится общий множитель.

Пункт а. Сначала числа и правая часть. $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$: угол во II четверти, там косинус отрицателен. По формуле приведения $\sin\left(2x-\dfrac{3\pi}{2}\right)=\cos 2x$: вычесть $\dfrac{3\pi}{2}$ — то же, что прибавить $\dfrac{\pi}{2}$ (разница — полный оборот $2\pi$), а $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\alpha$. Уравнение принимает вид

$$\sin 2x\cdot\sin 4x-\dfrac12\cos 4x=\cos 2x.$$

Произведение синусов превратим в разность косинусов по формуле $\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr)$. У углов $4x$ и $2x$ разность равна $2x$, а сумма $6x$:

$$\sin 2x\cdot\sin 4x=\dfrac12\cos 2x-\dfrac12\cos 6x.$$

Подставим это в уравнение и умножим обе части на $2$: $\cos 2x-\cos 6x-\cos 4x=2\cos 2x$. Перенесём всё в одну часть и сменим знаки:

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0.$$

Теперь сумму крайних косинусов запишем произведением: $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$. Для углов $6x$ и $2x$ полусумма равна $4x$, полуразность $2x$, поэтому $\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x$. Множитель $\cos 4x$ теперь есть в обоих слагаемых:

$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0\quad\Leftrightarrow\quad \cos 4x\,(2\cos 2x+1)=0.$$

1) $\cos 4x=0$: $4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, откуда $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}$ (на $4$ делится и период).

2) $2\cos 2x+1=0$, то есть $\cos 2x=-\dfrac12$: $2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, откуда $x=\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Найдём концы отрезка на окружности. $-\dfrac{7\pi}{2}=-4\pi+\dfrac{\pi}{2}$ — это верхняя точка, а $-\dfrac{5\pi}{2}=-4\pi+\dfrac{3\pi}{2}$ — нижняя. Когда $x$ растёт от $-\dfrac{7\pi}{2}$ до $-\dfrac{5\pi}{2}$, точка идёт против часовой стрелки от верхней точки через левую к нижней. Значит, отрезок — это левая половина окружности, и каждый корень на нём имеет вид $x=\varphi-4\pi$, где угол $\varphi$ лежит от $\dfrac{\pi}{2}$ до $\dfrac{3\pi}{2}$.

Серия $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}=\dfrac{(2k+1)\pi}{8}$ — это восемь точек через $\dfrac{\pi}{4}$, начиная с $\dfrac{\pi}{8}$. На левой половине, от $\dfrac{4\pi}{8}$ до $\dfrac{12\pi}{8}$, лежат $\dfrac{5\pi}{8},\ \dfrac{7\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}$. Вычтем $4\pi=\dfrac{32\pi}{8}$: получаем $-\dfrac{27\pi}{8},\ -\dfrac{25\pi}{8},\ -\dfrac{23\pi}{8},\ -\dfrac{21\pi}{8}$.

Серии $\pm\dfrac{\pi}{3}+\pi k$ дают на окружности четыре точки: $\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3},\ \dfrac{5\pi}{3}$. На левой половине из них лежат $\dfrac{2\pi}{3}$ и $\dfrac{4\pi}{3}$. Вычтем $4\pi=\dfrac{12\pi}{3}$: получаем $-\dfrac{10\pi}{3}$ и $-\dfrac{8\pi}{3}$.

Концы отрезка корнями не являются. При $x=-\dfrac{7\pi}{2}$ имеем $4x=-14\pi$ и $2x=-7\pi$, при $x=-\dfrac{5\pi}{2}$ — $4x=-10\pi$ и $2x=-5\pi$. В обоих случаях $\cos 4x=1$ и $\cos 2x=-1$, поэтому $\cos 4x\,(2\cos 2x+1)=1\cdot(-1)\ne 0$.

Проверим себя на $x=-\dfrac{8\pi}{3}$: $2x=-\dfrac{16\pi}{3}=-6\pi+\dfrac{2\pi}{3}$, так что $\cos 2x=-\dfrac12$, $\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$; $4x=-12\pi+\dfrac{4\pi}{3}$, $\sin 4x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos 4x=-\dfrac12$. Слева $\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)-\dfrac12\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac34+\dfrac14=-\dfrac12$, справа $\cos 2x=-\dfrac12$ — верно.