Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043663

Пункт а. Сначала числа и формулы приведения: $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ и $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 2x$. Уравнение:

$$\cos 2x\cdot\sin 4x-\dfrac12\cos 4x=\sin 2x.$$

Выразим всё через $s=\sin 2x$. По формулам двойного угла $\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$ и $\cos 4x=1-2\sin^2 2x$. Тогда

$$\cos 2x\cdot\sin 4x=2\sin 2x\cos^2 2x=2s(1-s^2).$$

Подставим: $2s-2s^3-\dfrac12(1-2s^2)=s$, то есть $2s-2s^3-\dfrac12+s^2-s=0$. Умножим на $-2$:

$$4s^3-2s^2-2s+1=0.$$

При $s=\dfrac12$: $\dfrac12-\dfrac12-1+1=0$, значит, есть множитель $(2s-1)$: $4s^3-2s^2-2s+1=2s^2(2s-1)-(2s-1)=(2s-1)(2s^2-1)$.

1) $\sin 2x=\dfrac12$: $2x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k$ или $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$. Делим на $2$ и сдвиг, и период: $x=\dfrac{\pi}{12}+\pi k$, $x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi k$.

2) $2\sin^2 2x=1$. Это то же, что $1-2\sin^2 2x=0$, то есть $\cos 4x=0$: $4x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $[-3\pi;-2\pi]$.

Серия $\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi k}{4}=\dfrac{(2k+1)\pi}{8}$ — нечётные восьмые доли $\pi$. Концы отрезка: $-\dfrac{24\pi}{8}$ и $-\dfrac{16\pi}{8}$. Нечётные числители между $-24$ и $-16$: $-23,\ -21,\ -19,\ -17$. Это $-\dfrac{23\pi}{8},\ -\dfrac{21\pi}{8},\ -\dfrac{19\pi}{8},\ -\dfrac{17\pi}{8}$.

Серия $\dfrac{\pi}{12}+\pi k$ в двенадцатых: $\dfrac{(1+12k)\pi}{12}$, отрезок $\left[-\dfrac{36\pi}{12};-\dfrac{24\pi}{12}\right]$. При $k=-3$: $-\dfrac{35\pi}{12}$ — внутри; при $k=-2$: $-\dfrac{23\pi}{12}$ — правее.

Серия $\dfrac{5\pi}{12}+\pi k=\dfrac{(5+12k)\pi}{12}$: при $k=-3$ — $-\dfrac{31\pi}{12}$, внутри; при $k=-2$ — $-\dfrac{19\pi}{12}$, правее; при $k=-4$ — $-\dfrac{43\pi}{12}$, левее.

Проверим себя на $x=-\dfrac{35\pi}{12}$: $2x=-\dfrac{35\pi}{6}$, это $\dfrac{\pi}{6}-6\pi$, так что $\sin 2x=\dfrac12$, $\cos 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin 4x=\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos 4x=\dfrac12$. Слева $\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac34-\dfrac14=\dfrac12$, справа $\sin 2x=\dfrac12$ — верно.