Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043662

Пункт а. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.

Числитель. По формуле приведения $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+2x\right)=-\cos 2x$. Числитель: $\cos^4x-\cos 2x-\sin^2x$. Так как $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$,

$$\cos^4x-\cos^2x+\sin^2x-\sin^2x=\cos^4x-\cos^2x=\cos^2x\,(\cos^2x-1)=-\cos^2x\sin^2x.$$

Произведение $\sin x\cos x=\dfrac12\sin 2x$, поэтому числитель равен $-\dfrac14\sin^2 2x$. Он равен нулю при $\sin 2x=0$, то есть $2x=\pi k$, $x=\dfrac{\pi k}{2}$.

Знаменатель. Обозначим $v=\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{8}$. Косинус чётный: $\cos\left(-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{x}{4}\right)=\cos v$. Заменим $\cos^2v=1-\sin^2v$:

$$2(1-\sin^2v)-5\sin v-2=-2\sin^2v-5\sin v=-\sin v\,(2\sin v+5).$$

Так как $\sin v\ge -1$, множитель $2\sin v+5\ge 3$ и в ноль не обращается. Знаменатель нулевой только при $\sin v=0$:

$$\dfrac{x}{4}+\dfrac{\pi}{8}=\pi n\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi n.$$

Эти точки исключаем из $\dfrac{\pi k}{2}$. Кратные $\pi$ ($x=\pi k$) среди исключённых нет. Остальные точки — $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$ (верхняя точка окружности) и $\dfrac{3\pi}{2}+2\pi k$ (нижняя). Исключённые $-\dfrac{\pi}{2}+4\pi n$ — нижние, но через одну: нижние точки — это $\dfrac{3\pi}{2}+4\pi k$ и $\dfrac{7\pi}{2}+4\pi k$, и вторые совпадают с $-\dfrac{\pi}{2}+4\pi n$. Их выбрасываем.

Итак, решения пункта а: $x=\pi k$, $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, $x=\dfrac{3\pi}{2}+4\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Точки вида $\dfrac{\pi k}{2}$ на $[\pi;4\pi]$: $\pi,\ \dfrac{3\pi}{2},\ 2\pi,\ \dfrac{5\pi}{2},\ 3\pi,\ \dfrac{7\pi}{2},\ 4\pi$. Точка $\dfrac{7\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi$ исключена. Точка $\dfrac{3\pi}{2}$ подходит: это $\dfrac{3\pi}{2}+4\pi\cdot 0$.

Проверим себя на $x=\dfrac{7\pi}{2}$: $v=\dfrac{7\pi}{8}+\dfrac{\pi}{8}=\pi$, $\sin v=0$ — знаменатель нулевой, точка действительно лишняя. При $x=\dfrac{3\pi}{2}$: $v=\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}$, знаменатель $-1\cdot 7=-7\ne 0$.