Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043661

Пункт а. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Разберём их по очереди.

Числитель. По формуле приведения $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos 2x$, поэтому числитель равен $\sin^4x+\cos 2x-\cos^2x$. Распишем $\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$:

$$\sin^4x+\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x=\sin^4x-\sin^2x=-\sin^2x\,(1-\sin^2x)=-\sin^2x\cos^2x.$$

Он равен нулю, когда $\sin x=0$ или $\cos x=0$. На окружности это четыре точки — правая, верхняя, левая, нижняя, то есть $x=\dfrac{\pi k}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Знаменатель. Обозначим $u=\dfrac{x}{4}-\dfrac{\pi}{4}$. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{4}\right)=\cos(-u)=\cos u$. Заменим $\sin^2u=1-\cos^2u$:

$$2(1-\cos^2u)+3\cos u-2=-2\cos^2u+3\cos u=\cos u\,(3-2\cos u).$$

Второй множитель нулём не бывает: $\cos u\le 1$, значит, $3-2\cos u\ge 1$. Знаменатель равен нулю только при $\cos u=0$, то есть $u=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$:

$$\dfrac{x}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\quad\Rightarrow\quad \dfrac{x}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+\pi n\quad\Rightarrow\quad x=3\pi+4\pi n.$$

Эти точки надо выбросить из серии $\dfrac{\pi k}{2}$. Разложим серию: нечётные кратные $\dfrac{\pi}{2}$ — это $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, они на $3\pi+4\pi n$ не попадают. Кратные $\pi$ делятся на чётные $2\pi k$ (подходят) и нечётные $\pi+2\pi k$. Нечётные, в свою очередь, — это $\pi+4\pi k$ и $3\pi+4\pi k$; вторые выбрасываем.

Итак, решения пункта а: $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $x=2\pi k$, $x=\pi+4\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. На отрезке $[0;4\pi]$ точек вида $\dfrac{\pi k}{2}$ девять: $0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2},\ 2\pi,\ \dfrac{5\pi}{2},\ 3\pi,\ \dfrac{7\pi}{2},\ 4\pi$. Из них исключается $3\pi$ (это $3\pi+4\pi\cdot 0$). Следующая исключённая точка $7\pi$ — уже за отрезком.

Проверим себя на исключённой точке $x=3\pi$: $u=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$, $\cos u=0$ — знаменатель действительно нулевой. А при $x=\pi$: $u=0$, знаменатель $\cos 0\cdot(3-2)=1\ne 0$, числитель $-\sin^2\pi\cos^2\pi=0$ — корень.