Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043654

Первый платёж обозначим $p$. Каждый следующий из платежей 2027 и 2028 годов в $1{,}6$ раза больше предыдущего: $1{,}6p$ и $1{,}6\cdot 1{,}6p=2{,}56p$. Последний платёж известен — $1\,770\,240$ рублей.

Три первых платежа вместе равны общей сумме минус последний:

$$p+1{,}6p+2{,}56p=8\,994\,240-1\,770\,240=7\,224\,000\quad\Rightarrow\quad 5{,}16p=7\,224\,000\quad\Rightarrow\quad p=1\,400\,000.$$

Платежи: $1\,400\,000$; $2\,240\,000$; $3\,584\,000$; $1\,770\,240$.

Теперь найдём $S$. Каждый платёж закрывает часть исходного долга, «очищенную» от процентов: платёж года номер $k$ делим на $1{,}2^k$. Вместе эти части дают весь кредит:

$$S=\dfrac{1\,400\,000}{1{,}2}+\dfrac{2\,240\,000}{1{,}44}+\dfrac{3\,584\,000}{1{,}728}+\dfrac{1\,770\,240}{2{,}0736}.$$

Удобнее умножить всё на $1{,}2^4=2{,}0736$:

$$2{,}0736S=1\,400\,000\cdot 1{,}728+2\,240\,000\cdot 1{,}44+3\,584\,000\cdot 1{,}2+1\,770\,240.$$

Считаем: $2\,419\,200+3\,225\,600+4\,300\,800+1\,770\,240=11\,715\,840$, и $S=11\,715\,840:2{,}0736=5\,650\,000$.

Это $5{,}65$ млн рублей.

Проверим себя прогоном: $5{,}65\cdot 1{,}2=6{,}78$, минус $1{,}4$ — $5{,}38$; $\cdot 1{,}2=6{,}456$, минус $2{,}24$ — $4{,}216$; $\cdot 1{,}2=5{,}0592$, минус $3{,}584$ — $1{,}4752$; $\cdot 1{,}2=1{,}77024$ млн — ровно последний платёж.