Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043652

Нужно найти сумму кредита $S$ рублей, зная, насколько отличаются полные выплаты по двум вариантам. В обоих вариантах платежи равные, поэтому удобно связать платёж с кредитом через «приведение к началу».

Каждый платёж, разделённый на рост долга до момента платежа, — это часть исходного долга, которую он закрывает. Вместе платежи закрывают весь кредит.

Вариант 1: три платежа $x$, рост $10\%$:

$$\dfrac{x}{1{,}1}+\dfrac{x}{1{,}21}+\dfrac{x}{1{,}331}=S\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1{,}21x+1{,}1x+x}{1{,}331}=\dfrac{3{,}31x}{1{,}331}=S\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1{,}331}{3{,}31}S.$$

Всего: $3x=\dfrac{3{,}993}{3{,}31}S=\dfrac{3993}{3310}S$.

Вариант 2: два платежа $y$, рост $16\%$:

$$\dfrac{y}{1{,}16}+\dfrac{y}{1{,}3456}=S\quad\Rightarrow\quad \dfrac{2{,}16y}{1{,}3456}=S\quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{1{,}3456}{2{,}16}S.$$

Всего: $2y=\dfrac{2{,}6912}{2{,}16}S=\dfrac{841}{675}S$.

По первому варианту платить меньше на $353\,740$ рублей:

$$\left(\dfrac{841}{675}-\dfrac{3993}{3310}\right)S=353\,740.$$

Общий знаменатель $675=3^3\cdot 5^2$ и $3310=2\cdot 5\cdot 331$ — это $446\,850$. Числители: $841\cdot 662=556\,742$ и $3993\cdot 135=539\,055$, разность $17\,687$.

$$\dfrac{17\,687}{446\,850}S=353\,740\quad\Rightarrow\quad S=\dfrac{353\,740}{17\,687}\cdot 446\,850=20\cdot 446\,850=8\,937\,000.$$

Это $8937$ тыс. рублей.

Проверим себя: по первому варианту $\dfrac{3993}{3310}\cdot 8\,937\,000=3993\cdot 2700=10\,781\,100$; по второму $\dfrac{841}{675}\cdot 8\,937\,000=841\cdot 13\,240=11\,134\,840$. Разница $353\,740$ — сходится.