Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043640

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00043640

В июле 2026 года планируется взять кредит на десять лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на $20\,\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Кредит $1300$ тыс. рублей на десять лет: первые пять лет долг каждый июль уменьшается на $a$, следующие пять — на $b$. Считаем в тысячах рублей.

Сначала найдём переплату — это все проценты: $2780-1300=1480$ тыс. Каждый год начисляется $20\%$ от долга на июль предыдущего года, значит, сумма всех этих долгов равна

$$1480:0{,}2=7400.$$

Распишем эту сумму. Первые пять долгов: $1300,\ 1300-a,\ 1300-2a,\ 1300-3a,\ 1300-4a$, сумма $6500-10a$.

После пяти лет остаётся $1300-5a=5b$. Следующие долги: $5b,\ 4b,\ 3b,\ 2b,\ b$, сумма $15b$.

Получаем систему:

$$6500-10a+15b=7400,\qquad 5a+5b=1300.$$

Из второго $b=260-a$. Подставим: $6500-10a+3900-15a=7400$, $25a=3000$, $a=120$, $b=140$.

Платёж 2027 года — самый первый. Проценты начисляются на весь кредит, а долг уменьшается на $a$:

$$0{,}2\cdot 1300+120=260+120=380\ \text{тыс. руб.}$$

Спрашивают в рублях: $380\,000$.

Проверим себя: сумма долгов $6500-1200+2100=7400$, проценты $0{,}2\cdot 7400=1480$, всего $1300+1480=2780$ — сходится. И $5\cdot 120+5\cdot 140=1300$ — долг погашен полностью.

Ответ

380000
Другие задания по теме «Кредиты» (8)