Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043635

Неизвестных две: ставка $r$ (в процентах) и величина $d$ тыс. рублей, на которую долг уменьшается в июле 2030, 2031 и 2032 годов. Значит, нужны два уравнения. Удобно обозначить $p=\dfrac{r}{100}$ — долю, на которую растёт долг.

Долг на июль перед каждым годом (тыс. руб.): $2000$, $2000-d$, $2000-2d$, $2000-3d$. На них и начисляются проценты.

Первое уравнение — последний платёж. В июле 2032 года осталось $2000-3d$. В январе 2033 года долг вырос, и $406$ тыс. — это платёж вместе с процентами:

$$(1+p)(2000-3d)=406.$$

Второе уравнение — сумма выплат. Все выплаты — это кредит плюс проценты всех четырёх лет:

$$2000+p\bigl(2000+(2000-d)+(2000-2d)+(2000-3d)\bigr)=2752\quad\Rightarrow\quad p(8000-6d)=752.$$

Выразим из второго: $8000-6d=\dfrac{752}{p}$, тогда $2000-3d=\dfrac{8000-6d}{2}-2000=\dfrac{376}{p}-2000$. Подставим в первое:

$$(1+p)\left(\dfrac{376}{p}-2000\right)=406.$$

Умножим на $p$: $(1+p)(376-2000p)=406p$, то есть $376-2000p+376p-2000p^2=406p$, откуда

$$2000p^2+2030p-376=0\quad\Leftrightarrow\quad 1000p^2+1015p-188=0.$$

Дискриминант: $1015^2+4\cdot 1000\cdot 188=1\,030\,225+752\,000=1\,782\,225=1335^2$. Положительный корень: $p=\dfrac{-1015+1335}{2000}=\dfrac{320}{2000}=0{,}16$.

Значит, $r=16$.

Проверим себя: $8000-6d=\dfrac{752}{0{,}16}=4700$, $d=550$. Остаток $2000-1650=350$, с процентами $1{,}16\cdot 350=406$ — как в условии. Проценты: $320+232+144+56=752$, всего $2752$ — сходится.