Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043628

Банк начисляет проценты в конце каждого года, а сумму процентов найти просто: это всё, что окажется на вкладе через четыре года, минус всё, что вкладчик положил сам. Считать будем в млн рублей; первоначальный взнос обозначим $S$.

Каждый год вклад умножается на $1{,}1$. Первоначальный взнос лежит четыре года: $S\cdot 1{,}1^4=1{,}4641S$.

Взносы по $0{,}5$ млн внесены в январе 2029, 2030 и 2031 годов. Они получают проценты три, два и один раз:

$$0{,}5\cdot 1{,}331+0{,}5\cdot 1{,}21+0{,}5\cdot 1{,}1=0{,}6655+0{,}605+0{,}55=1{,}8205.$$

Итог через четыре года: $1{,}4641S+1{,}8205$.

Сам вкладчик положил $S+3\cdot 0{,}5=S+1{,}5$. Проценты — разность:

$$1{,}4641S+1{,}8205-S-1{,}5=0{,}4641S+0{,}3205.$$

Нужно, чтобы проценты были больше $1$ млн:

$$0{,}4641S+0{,}3205\gt 1\quad\Rightarrow\quad 0{,}4641S\gt 0{,}6795\quad\Rightarrow\quad S\gt\dfrac{0{,}6795}{0{,}4641}\approx 1{,}464.$$

Взнос — целое число сотен тысяч рублей, то есть шаг $0{,}1$ млн. Наименьшее подходящее значение — $1{,}5$ млн, это $1\,500\,000$ рублей.

Проверим себя. При $S=1{,}5$: проценты $0{,}4641\cdot 1{,}5+0{,}3205=0{,}69615+0{,}3205=1{,}01665\gt 1$. При $S=1{,}4$: $0{,}64974+0{,}3205=0{,}97024$ — меньше $1$ млн.