Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043623

Елена открывает вклад на четыре года: в январе 2028 года кладёт $S$ млн рублей, а в январе 2029, 2030 и 2031 годов добавляет по $1$ млн. Каждый декабрь на всю сумму начисляются проценты. Сравним два варианта и найдём наименьшее целое $S$.

Будем следить за вкладом год за годом: в январе прибавляем взнос, в декабре умножаем на множитель года ($10\%$ — на $1{,}1$, $20\%$ — на $1{,}2$).

Первый вариант (10, 10, 20, 20):

конец 2028: $1{,}1S$;

конец 2029: $1{,}1(1{,}1S+1)=1{,}21S+1{,}1$;

конец 2030: $1{,}2(1{,}21S+2{,}1)=1{,}452S+2{,}52$;

конец 2031: $1{,}2(1{,}452S+3{,}52)=1{,}7424S+4{,}224$.

Второй вариант (20, 20, 10, 10) так же даёт $1{,}2\cdot 1{,}2\cdot 1{,}1\cdot 1{,}1\,S=1{,}7424S$ для первоначального взноса, а взносы превращаются в $1{,}2\cdot 1{,}1\cdot 1{,}1+1{,}1\cdot 1{,}1+1{,}1=1{,}452+1{,}21+1{,}1=3{,}762$ млн.

Часть с $S$ одинакова, а взносы в первом варианте дают больше: $4{,}224\gt 3{,}762$. Значит, Елена выбирает первый вариант.

Нужно не менее $11$ млн:

$$1{,}7424S+4{,}224\ge 11\quad\Rightarrow\quad 1{,}7424S\ge 6{,}776\quad\Rightarrow\quad S\ge\dfrac{6{,}776}{1{,}7424}\approx 3{,}89.$$

Взнос — целое число миллионов, поэтому наименьшее $S=4$.

Проверим себя. При $S=4$: $1{,}7424\cdot 4+4{,}224=6{,}9696+4{,}224=11{,}1936\ge 11$. При $S=3$: $5{,}2272+4{,}224=9{,}4512$ — меньше $11$.