Вклады — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043622

Михаил кладёт на вклад $S$ млн рублей в январе 2028 года и ещё по $1$ млн в январе 2029 и 2030 годов. Каждый декабрь банк начисляет проценты на всё, что лежит на вкладе. Сначала поймём, какой вариант выгоднее, а потом найдём наименьшее $S$.

Начисление $10\%$ — это умножение на $1{,}1$, $15\%$ — на $1{,}15$, $20\%$ — на $1{,}2$.

Первоначальный взнос $S$ лежит все три года и в обоих вариантах умножается на одни и те же три числа, только в другом порядке. От перестановки множителей произведение не меняется: $1{,}1\cdot 1{,}15\cdot 1{,}2=1{,}518$. Значит, эта часть одинакова, и всё решают дополнительные взносы.

Взнос января 2029 года получает проценты в декабре 2029 и в декабре 2030 года, взнос января 2030 года — только в декабре 2030 года.

Первый вариант (ставки 10, 15, 20): взносы превращаются в $1\cdot 1{,}15\cdot 1{,}2=1{,}38$ и $1\cdot 1{,}2=1{,}2$, всего $2{,}58$ млн.

Второй вариант (ставки 20, 15, 10): $1\cdot 1{,}15\cdot 1{,}1=1{,}265$ и $1\cdot 1{,}1=1{,}1$, всего $2{,}365$ млн.

Первый вариант выгоднее: в нём большие ставки достаются годам, когда на вкладе уже лежат пополнения. Итог по нему:

$$1{,}518S+2{,}58.$$

Нужно не менее $11{,}5$ млн:

$$1{,}518S+2{,}58\ge 11{,}5\quad\Rightarrow\quad 1{,}518S\ge 8{,}92\quad\Rightarrow\quad S\ge\dfrac{8{,}92}{1{,}518}\approx 5{,}88.$$

Взнос — целое число миллионов, поэтому наименьший подходящий взнос $S=6$.

Проверим себя. При $S=6$: $1{,}518\cdot 6+2{,}58=9{,}108+2{,}58=11{,}688\ge 11{,}5$. При $S=5$: $7{,}59+2{,}58=10{,}17$ — не хватает.