Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043626

Здесь две неизвестные: сумма кредита $S$ и величина $d$, на которую долг уменьшается каждый июль с 2030 по 2034 год. Считать будем в тысячах рублей. Начнём с конца — там всё известно точнее всего.

После пяти уменьшений (2030, 2031, 2032, 2033, 2034) в июле 2034 года остался долг $S-5d$. В январе 2035 года он вырос на $10\%$, и платёж $484$ тыс. погасил его целиком:

$$1{,}1(S-5d)=484\quad\Rightarrow\quad S-5d=440.$$

Теперь общая сумма выплат. Все платежи вместе возвращают сам долг $S$ и ещё все проценты. Проценты каждого года — это ставка от долга, который был в июле предыдущего года:

2030: $0{,}2S$; 2031: $0{,}2(S-d)$; 2032: $0{,}2(S-2d)$; 2033: $0{,}1(S-3d)$; 2034: $0{,}1(S-4d)$; 2035: $0{,}1(S-5d)=0{,}1\cdot 440=44$.

Сложим: $0{,}2(3S-3d)+0{,}1(2S-7d)+44=0{,}6S-0{,}6d+0{,}2S-0{,}7d+44=0{,}8S-1{,}3d+44$.

Значит, все выплаты равны

$$S+0{,}8S-1{,}3d+44=1{,}8S-1{,}3d+44=2376.$$

Из первого уравнения $d=\dfrac{S-440}{5}$, тогда $1{,}3d=0{,}26S-114{,}4$. Подставим:

$$1{,}8S-0{,}26S+114{,}4+44=2376\quad\Rightarrow\quad 1{,}54S=2217{,}6\quad\Rightarrow\quad S=1440.$$

Это $1440$ тыс. рублей, то есть $1\,440\,000$ рублей.

Проверим себя: $d=\dfrac{1440-440}{5}=200$. Проценты по годам: 2030 — $0{,}2\cdot 1440=288$; 2031 — $0{,}2\cdot 1240=248$; 2032 — $0{,}2\cdot 1040=208$; 2033 — $0{,}1\cdot 840=84$; 2034 — $0{,}1\cdot 640=64$; 2035 — $0{,}1\cdot 440=44$. Сумма $288+248+208+84+64+44=936$, и $1440+936=2376$ — как в условии.