Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00043620

Кредит живёт пять лет, и годы делятся на две части. Первые три года Пётр Иванович платит только проценты — долг при этом не уменьшается. Последние два года он гасит долг двумя равными платежами. Посчитаем, сколько он заплатит всего, если взять $S$ млн рублей.

Каждый январь долг растёт на $20\%$, то есть умножается на $1{,}2$. Если в 2029–2031 годах выплачиваются ровно начисленные проценты, долг каждый раз возвращается к $S$. Значит, каждый из этих трёх платежей равен $0{,}2S$, а вместе они дают

$$3\cdot 0{,}2S=0{,}6S.$$

Теперь два равных платежа $x$ в 2032 и 2033 годах. В январе 2032 года долг стал $1{,}2S$, после платежа осталось $1{,}2S-x$.

В январе 2033 года этот остаток вырос: $1{,}2(1{,}2S-x)$. Последний платёж $x$ гасит долг полностью:

$$1{,}2(1{,}2S-x)=x\quad\Rightarrow\quad 1{,}44S=2{,}2x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{1{,}44S}{2{,}2}.$$

Два таких платежа: $2x=\dfrac{2{,}88S}{2{,}2}=\dfrac{1{,}44S}{1{,}1}=\dfrac{144S}{110}=\dfrac{72S}{55}$.

Общая сумма выплат:

$$0{,}6S+\dfrac{72S}{55}=\dfrac{33S}{55}+\dfrac{72S}{55}=\dfrac{105S}{55}=\dfrac{21S}{11}.$$

По условию она не превышает $10$ млн:

$$\dfrac{21S}{11}\le 10\quad\Rightarrow\quad S\le\dfrac{110}{21}\approx 5{,}24.$$

Размер кредита — целое число миллионов, поэтому наибольший подходящий $S=5$.

Проверим себя. При $S=5$: проценты $3\cdot 1=3$ млн; $x=\dfrac{1{,}44\cdot 5}{2{,}2}=\dfrac{7{,}2}{2{,}2}\approx 3{,}27$, два платежа $\approx 6{,}55$; всего $\approx 9{,}55\le 10$. При $S=6$ выплаты $\dfrac{21\cdot 6}{11}\approx 11{,}45$ — уже больше $10$.