Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043619

Функция $f(x)=a^{x-2}$ — показательная, неизвестно только основание $a$. Найдём его, а потом решим $f(x)=27$.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(1;\,3)$ и $(2;\,1)$.

Точка $(2;\,1)$ основания не определяет: при $x=2$ показатель равен нулю, а $a^{0}=1$ всегда. Берём точку $(1;\,3)$: $a^{1-2}=a^{-1}=3$, то есть $\dfrac1a=3$ и $a=\dfrac13$. График убывает — основание меньше единицы, всё сходится.

$$f(x)=\left(\dfrac13\right)^{x-2}=3^{2-x}.$$

Последнюю запись получили так: $\dfrac13=3^{-1}$, поэтому $\left(3^{-1}\right)^{x-2}=3^{-(x-2)}=3^{2-x}$.

Решаем $f(x)=27$:

$$3^{2-x}=27=3^{3}\quad\Rightarrow\quad 2-x=3\quad\Rightarrow\quad x=-1.$$

Проверим себя: $f(-1)=\left(\dfrac13\right)^{-3}=3^{3}=27$. Верно. И по смыслу: $27$ гораздо больше значений на рисунке, а функция убывает — ответ и должен быть левее отмеченных точек.