Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043600

Функция $f(x)=c+\log_a x$ — логарифмическая кривая, сдвинутая по вертикали на $c$. Найдём $c$ и основание $a$.

Масштаб: на оси $x$ подписано $2$ у второй линии, на оси $y$ — $1$; одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(1;\,-1)$ и $(4;\,-2)$.

Логарифм единицы при любом основании равен нулю. Поэтому $f(1)=c+0=c$, и по рисунку $c=-1$.

Вторая точка: $-1+\log_a4=-2$, то есть $\log_a4=-1$. По определению логарифма $a^{-1}=4$, то есть $\dfrac1a=4$ и $a=\dfrac14$. График убывает — как и положено при основании меньше единицы.

$$f(x)=-1+\log_{1/4}x.$$

Считаем $f(64)$. Нужна степень, в которую возводят $\dfrac14$, чтобы получить $64$. Так как $64=4^{3}$, а $\dfrac14=4^{-1}$, подходит степень $-3$: $\left(\dfrac14\right)^{-3}=4^{3}=64$. Значит, $\log_{1/4}64=-3$ и

$$f(64)=-1+(-3)=-4.$$

Проверим себя на ещё одной точке: $f(16)=-1+\log_{1/4}16=-1-2=-3$. Кривая опускается на одну клетку при каждом умножении $x$ на $4$: $x=1\to4\to16\to64$ даёт $-1,\,-2,\,-3,\,-4$ — всё согласуется.