Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043594

Это логарифмическая функция $\log_a(x+b)$. Найдём $a$ и $b$ по двум отмеченным точкам.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(-2;\,0)$ и $(1;\,4)$.

Логарифм равен нулю, только когда под ним стоит единица (любое основание в нулевой степени равно $1$). Из точки $(-2;\,0)$: $-2+b=1$, значит, $b=3$.

Из точки $(1;\,4)$: $\log_a(1+3)=4$, то есть $\log_a4=4$. По определению логарифма это значит $a^{4}=4$. Тогда $a^{2}=2$ и $a=\sqrt2$ (основание положительно).

$$f(x)=\log_{\sqrt2}(x+3).$$

Считаем:

$$f(29)=\log_{\sqrt2}(29+3)=\log_{\sqrt2}32.$$

Какую степень нужно взять от $\sqrt2$, чтобы получить $32$? Так как $\sqrt2=2^{1/2}$ и $32=2^{5}$, нужно $\left(2^{1/2}\right)^{n}=2^{5}$, то есть $\dfrac n2=5$, $n=10$.

Проверим формулу на рисунке: $f(-1)=\log_{\sqrt2}2=2$, так как $(\sqrt2)^{2}=2$. График и правда проходит через точку $(-1;\,2)$.