Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043609

Перед нами $f(x)=p\cdot a^{x}$. Найдём $p$ и $a$ по отмеченным точкам, затем решим уравнение $f(x)=32$.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(0;\,4)$ и $(2;\,1)$.

При $x=0$ степень $a^{0}=1$, поэтому $f(0)=p=4$.

При $x=2$: $4a^{2}=1$, $a^{2}=\dfrac14$, $a=\dfrac12$ (основание положительно). График убывает — основание меньше единицы, всё сходится.

$$f(x)=4\cdot\left(\dfrac12\right)^{x}.$$

Решаем $f(x)=32$:

$$4\cdot\left(\dfrac12\right)^{x}=32\quad\Rightarrow\quad\left(\dfrac12\right)^{x}=8.$$

Запишем обе части как степени двойки: $\left(\dfrac12\right)^{x}=2^{-x}$ и $8=2^{3}$. Значит, $-x=3$ и $x=-3$.

Проверим себя: $4\cdot\left(\dfrac12\right)^{-3}=4\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32$. Верно. И по смыслу: $32$ больше всех значений на рисунке, а функция убывает — значит, искать нужно левее, при отрицательном $x$.