Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043612

Формула $g$ дана, а параболу $f$ восстановим по рисунку. Потом найдём вторую общую точку $B$ из уравнения $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на оси $y$ подписано $3$ у третьей линии, одна клетка — единица.

Какая парабола — $g$? У $g(x)=-2x^{2}+4x+3$ старший коэффициент отрицательный, ветви вниз, а вершина при $x_0=-\dfrac{4}{2\cdot(-2)}=1$, $g(1)=-2+4+3=5$ — это верхняя отмеченная точка $(1;\,5)$. Значит, $f$ — парабола ветвями вверх.

На $f$ отмечены точки в узлах: $A(0;\,3)$, $(1;\,-1)$ и $(2;\,1)$. Подставим их в $f(x)=ax^{2}+bx+c$:

$$c=3,\qquad a+b+3=-1,\qquad 4a+2b+3=1.$$

Отсюда $a+b=-4$ и $2a+b=-1$. Вычтем первое из второго: $a=3$, тогда $b=-7$.

$$f(x)=3x^{2}-7x+3.$$

Приравняем функции:

$$3x^{2}-7x+3=-2x^{2}+4x+3\quad\Rightarrow\quad 5x^{2}-11x=0\quad\Rightarrow\quad x(5x-11)=0.$$

$x=0$ — это точка $A$. Для $B$: $x_B=\dfrac{11}{5}=2{,}2$.

Ордината: $y_B=g(2{,}2)=-2\cdot 4{,}84+4\cdot 2{,}2+3=-9{,}68+8{,}8+3=2{,}12$.

Проверим по второй формуле: $f(2{,}2)=3\cdot 4{,}84-7\cdot 2{,}2+3=14{,}52-15{,}4+3=2{,}12$. Совпало. И на рисунке $B$ чуть правее $x=2$ и чуть выше $y=2$.