Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042079

Формула $f$ дана, а параболу $g$ восстановим по рисунку. Потом найдём обе точки пересечения из уравнения $f(x)=g(x)$; одна из них — уже известная точка $A$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Какая парабола — $f$? У $f(x)=-4x^{2}-23x-31$ старший коэффициент $-4$, это узкая парабола ветвями вниз. Проверим по точке $A(-2;\,-1)$: $f(-2)=-16+46-31=-1$ — верно. Значит, $g$ — широкая парабола.

Точки широкой параболы в узлах сетки: $(0;\,5)$ на оси $y$, отмеченные $(1;\,5)$ и $(2;\,3)$, а также $A(-2;\,-1)$.

Из точки на оси $y$ сразу $c=g(0)=5$. Точки $(0;\,5)$ и $(1;\,5)$ на одной высоте, значит, ось симметрии параболы проходит посередине между ними, при $x=\dfrac{1}{2}$:

$$-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ b=-a.$$

Подставим точку $(2;\,3)$: $4a+2b+5=3$, то есть $4a-2a=-2$, откуда $a=-1$ и $b=1$.

$$g(x)=-x^{2}+x+5.$$

Проверка по точке $A$: $g(-2)=-4-2+5=-1$ — совпало с $f(-2)$.

Приравниваем функции:

$$-x^{2}+x+5=-4x^{2}-23x-31\ \Rightarrow\ 3x^{2}+24x+36=0\ \Rightarrow\ x^{2}+8x+12=0.$$

$$D=64-48=16,\qquad x=\dfrac{-8\pm4}{2}.$$

Корни $x_{1}=-2$ — это абсцисса $A$ — и $x_{2}=-6$. Значит, абсцисса точки $B$ равна $-6$.

Проверка подстановкой: $f(-6)=-144+138-31=-37$ и $g(-6)=-36-6+5=-37$ — значения совпали, точка $(-6;\,-37)$ общая, она далеко ниже края рисунка.