Парабола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043587

Нужно восстановить формулу параболы по рисунку и посчитать её значение при $x=-3$.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(-1;\,0)$ и $(4;\,0)$ на оси $x$, $(0;\,4)$ на оси $y$.

Ось симметрии параболы проходит ровно посередине между нулями: $x_0=\dfrac{-1+4}{2}=1{,}5$. По формуле вершины $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, значит,

$$-\dfrac{b}{2a}=1{,}5\quad\Rightarrow\quad b=-3a.$$

Точка на оси $y$ даёт $c=f(0)=4$.

Подставим нуль $x=-1$: $a\cdot 1+b\cdot(-1)+4=0$, то есть $a-b+4=0$. С учётом $b=-3a$: $a+3a+4=0$, $4a=-4$, $a=-1$, $b=3$.

$$f(x)=-x^{2}+3x+4.$$

Проверим по второму нулю: $f(4)=-16+12+4=0$ — верно. И ветви вниз, как на рисунке: $a=-1\lt 0$.

Считаем:

$$f(-3)=-(-3)^{2}+3\cdot(-3)+4=-9-9+4=-14.$$

Второй способ: через корни $f(x)=-(x+1)(x-4)$, и $f(-3)=-(-2)\cdot(-7)=-14$. Совпало.