Комбинирован… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043610

Гипербола и прямая пересекаются в двух точках: $A$ видна на рисунке, а $B$ — за его пределами. Восстановим обе формулы и решим уравнение $f(x)=g(x)$.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $A(-1;\,3)$ — общая для обоих графиков, и $(4;\,1)$ на прямой.

Гипербола. Точка $A$ лежит на ней: $\dfrac{k}{-1}=3$, откуда $k=-3$. Итак, $f(x)=-\dfrac3x$.

Прямая проходит через $(-1;\,3)$ и $(4;\,1)$: вправо на $5$, вниз на $2$, значит, $a=-\dfrac25=-0{,}4$. Из точки $(4;\,1)$: $1=-0{,}4\cdot 4+b$, $b=2{,}6$. Итак, $g(x)=-0{,}4x+2{,}6$.

Пересечение. Приравняем и умножим обе части на $x$ ($x\ne 0$):

$$-\dfrac3x=-0{,}4x+2{,}6\quad\Rightarrow\quad -3=-0{,}4x^{2}+2{,}6x\quad\Rightarrow\quad 0{,}4x^{2}-2{,}6x-3=0.$$

Умножим на $5$, чтобы убрать дроби: $2x^{2}-13x-15=0$.

Один корень мы знаем заранее — это абсцисса $A$, $x=-1$: $2+13-15=0$. Второй найдём по дискриминанту: $D=169+120=289=17^{2}$, $x=\dfrac{13\pm17}{4}$, то есть $-1$ и $\dfrac{30}{4}=7{,}5$.

Абсцисса точки $B$ равна $7{,}5$.

Проверим себя: $f(7{,}5)=-\dfrac{3}{7{,}5}=-0{,}4$ и $g(7{,}5)=-3+2{,}6=-0{,}4$. Совпало.