Показательны… — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043593

Перед нами показательная функция: основание $a$ в степени $x+b$. Две отмеченные точки дадут два уравнения на $a$ и $b$.

Масштаб: одна клетка — единица. Отмеченные точки: $(0;\,4)$ и $(2;\,1)$.

Подставим их:

$$a^{0+b}=4,\qquad a^{2+b}=1.$$

Удобно поделить второе равенство на первое. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $\dfrac{a^{2+b}}{a^{b}}=a^{2}$. Получаем

$$a^{2}=\dfrac14\quad\Rightarrow\quad a=\dfrac12$$

(основание показательной функции положительно, поэтому $-\dfrac12$ не подходит). График убывает — и правда, основание меньше единицы.

Теперь $\left(\dfrac12\right)^{b}=4=\left(\dfrac12\right)^{-2}$, значит, $b=-2$ и $f(x)=\left(\dfrac12\right)^{x-2}$.

Считаем:

$$f(-3)=\left(\dfrac12\right)^{-3-2}=\left(\dfrac12\right)^{-5}=2^{5}=32.$$

Проверим формулу по рисунку: $f(1)=\left(\dfrac12\right)^{-1}=2$ — график и правда проходит через $(1;\,2)$, и видно правило: каждый шаг вправо на клетку уменьшает значение вдвое — $4,\ 2,\ 1$.