Гипербола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00043588

Функция $f(x)=\dfrac{k}{x}+b$ — это гипербола, сдвинутая вверх или вниз на $b$. Найдём $k$ и $b$ по рисунку.

Масштаб: одна клетка — единица.

Пунктирная прямая — горизонтальная асимптота: к ней ветви гиперболы прижимаются, но не достигают её. У функции $\dfrac{k}{x}+b$ асимптота — это прямая $y=b$, потому что при больших $x$ дробь $\dfrac{k}{x}$ почти ноль. По рисунку пунктир проходит на уровне $y=-3$, значит, $b=-3$.

Отмечена точка $(-1;\,0)$. Подставим: $\dfrac{k}{-1}-3=0$, то есть $-k=3$ и $k=-3$.

$$f(x)=-\dfrac{3}{x}-3.$$

Проверим по второй отмеченной точке $(3;\,-4)$: $f(3)=-\dfrac33-3=-1-3=-4$. Совпало.

Теперь считаем:

$$f(-15)=-\dfrac{3}{-15}-3=\dfrac{1}{5}-3=0{,}2-3=-2{,}8.$$