ID: 00028854
На рисунке изображены графики функций видов f(x)=\dfrac{k}{x} и g(x)=ax+b, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Источник: ФИПИ
На рисунке две линии: изогнутая — это гипербола f(x)=\dfrac{k}{x}, наклонная — прямая g(x)=ax+b. Пересечение видно только одно — точка A. Точки B на картинке нет вообще: она лежит далеко за правым краем рисунка, поэтому искать её глазами бесполезно. Рисунок нужен для другого — чтобы восстановить формулы обеих функций, а точку B мы потом вычислим.
Снимем с рисунка то, что отмечено точно в узлах клеток. Точка A стоит в узле (-3;-4). Вторая жирная точка — там, где прямая пересекает ось y, это (0;-3).
Сначала гипербола. Из равенства y=\dfrac{k}{x} следует k=x\cdot y, то есть у любой точки гиперболы произведение координат даёт один и тот же коэффициент k. Возьмём точку A:
k=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(x)=\dfrac{12}{x}.
Теперь прямая. Свободный член b — это значение g(x) при x=0, то есть высота точки пересечения прямой с осью y. Значит, b=-3.
Коэффициент a — наклон прямой, то есть отношение прироста y к приросту x между двумя её известными точками (-3;-4) и (0;-3):
a=\dfrac{-3-(-4)}{0-(-3)}=\dfrac{1}{3}.
Получили g(x)=\dfrac{x}{3}-3.
Точки пересечения — это те значения x, при которых обе функции дают одинаковый y. Приравняем их:
\dfrac{12}{x}=\dfrac{x}{3}-3.
Чтобы убрать обе дроби сразу, умножим каждую часть на 3x. Так делать можно: x=0 гиперболе всё равно не подходит, ведь на ноль делить нельзя.
36=x^{2}-9x,\qquad x^{2}-9x-36=0.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
D=(-9)^{2}-4\cdot1\cdot(-36)=81+144=225,\qquad \sqrt{225}=15.
x_{1}=\dfrac{9-15}{2}=-3,\qquad x_{2}=\dfrac{9+15}{2}=12.
Корень -3 — это абсцисса уже известной нам точки A. Значит, абсцисса точки B — второй корень.
Проверим себя: подставим его в обе функции. f(12)=\dfrac{12}{12}=1 и g(12)=\dfrac{12}{3}-3=4-3=1. Значения совпали, точка действительно общая для гиперболы и прямой — просто она находится справа и заметно выше, за пределами показанного куска рисунка.