Гипербола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00028854

На рисунке две линии: изогнутая — это гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$, наклонная — прямая $g(x)=ax+b$. Пересечение видно только одно — точка $A$. Точки $B$ на картинке нет вообще: она лежит далеко за правым краем рисунка, поэтому искать её глазами бесполезно. Рисунок нужен для другого — чтобы восстановить формулы обеих функций, а точку $B$ мы потом вычислим.

Снимем с рисунка то, что отмечено точно в узлах клеток. Точка $A$ стоит в узле $(-3;-4)$. Вторая жирная точка — там, где прямая пересекает ось $y$, это $(0;-3)$.

Сначала гипербола. Из равенства $y=\dfrac{k}{x}$ следует $k=x\cdot y$, то есть у любой точки гиперболы произведение координат даёт один и тот же коэффициент $k$. Возьмём точку $A$:

$$k=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(x)=\dfrac{12}{x}.$$

Теперь прямая. Свободный член $b$ — это значение $g(x)$ при $x=0$, то есть высота точки пересечения прямой с осью $y$. Значит, $b=-3$.

Коэффициент $a$ — наклон прямой, то есть отношение прироста $y$ к приросту $x$ между двумя её известными точками $(-3;-4)$ и $(0;-3)$:

$$a=\dfrac{-3-(-4)}{0-(-3)}=\dfrac{1}{3}.$$

Получили $g(x)=\dfrac{x}{3}-3$.

Точки пересечения — это те значения $x$, при которых обе функции дают одинаковый $y$. Приравняем их:

$$\dfrac{12}{x}=\dfrac{x}{3}-3.$$

Чтобы убрать обе дроби сразу, умножим каждую часть на $3x$. Так делать можно: $x=0$ гиперболе всё равно не подходит, ведь на ноль делить нельзя.

$$36=x^{2}-9x,\qquad x^{2}-9x-36=0.$$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$$D=(-9)^{2}-4\cdot1\cdot(-36)=81+144=225,\qquad \sqrt{225}=15.$$

$$x_{1}=\dfrac{9-15}{2}=-3,\qquad x_{2}=\dfrac{9+15}{2}=12.$$

Корень $-3$ — это абсцисса уже известной нам точки $A$. Значит, абсцисса точки $B$ — второй корень.

Проверим себя: подставим его в обе функции. $f(12)=\dfrac{12}{12}=1$ и $g(12)=\dfrac{12}{3}-3=4-3=1$. Значения совпали, точка действительно общая для гиперболы и прямой — просто она находится справа и заметно выше, за пределами показанного куска рисунка.