Гипербола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00041777

На рисунке гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и прямая $g(x)=ax+b$. Они пересекаются в точке $A$, которая видна, и в точке $B$, которая на рисунок не попала. Поэтому восстановим обе формулы и решим уравнение $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны единицы, клетка — единица. Жирно отмечены две точки: $A(-4;-3)$ — на пересечении графиков (подписи $-4$ и $-3$ на осях) и $(0;-1)$ — место, где прямая пересекает ось $Oy$.

Гипербола проходит через $A$:

$$-3=\dfrac{k}{-4}\ \Rightarrow\ k=(-4)\cdot(-3)=12,\qquad f(x)=\dfrac{12}{x}.$$

Прямая проходит через $(0;-1)$, значит, $b=-1$. Наклон считаем по двум точкам прямой $(-4;-3)$ и $(0;-1)$: при сдвиге на $4$ клетки вправо прямая поднимается на $2$ клетки, поэтому

$$a=\dfrac{-1-(-3)}{0-(-4)}=\dfrac{2}{4}=0{,}5,\qquad g(x)=0{,}5x-1.$$

Приравниваем:

$$\dfrac{12}{x}=0{,}5x-1.$$

Значение $x=0$ здесь невозможно (гипербола в нуле не определена), поэтому умножим обе части на $2x$:

$$24=x^{2}-2x,\qquad x^{2}-2x-24=0.$$

$$D=(-2)^{2}-4\cdot(-24)=4+96=100,\qquad x=\dfrac{2\pm10}{2}.$$

Корни $x_{1}=-4$ и $x_{2}=6$. Первый — абсцисса уже известной точки $A$, значит, абсцисса точки $B$ равна $6$.

Проверка: $f(6)=\dfrac{12}{6}=2$ и $g(6)=0{,}5\cdot6-1=2$ — значения совпали, точка $(6;2)$ общая для обоих графиков.