Гипербола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042066

На рисунке гипербола $f(x)=\dfrac{k}{x}$ и прямая $g(x)=ax+b$. Точка $A$ видна, а точки $B$ на рисунке нет. Поэтому восстановим обе формулы по отмеченным точкам, а $B$ найдём из уравнения $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица по обеим осям.

Точка $A$ стоит в узле сетки: $A(2;\,-1)$. Она лежит на гиперболе, а у функции $y=\dfrac{k}{x}$ произведение координат любой точки равно $k$:

$$k=x\cdot y=2\cdot(-1)=-2,\qquad f(x)=-\dfrac{2}{x}.$$

Сверимся: гипербола проходит и через узлы $(1;\,-2)$ и $(-2;\,1)$, а $1\cdot(-2)=-2$ и $(-2)\cdot 1=-2$ — верно.

Прямая проходит через отмеченную точку $(1;\,3)$ и через $A(2;\,-1)$. Её угловой коэффициент — изменение $y$, делённое на изменение $x$:

$$a=\dfrac{-1-3}{2-1}=-4,\qquad b=3-a\cdot 1=3+4=7,\qquad g(x)=-4x+7.$$

Общие точки графиков — решения уравнения $f(x)=g(x)$:

$$-\dfrac{2}{x}=-4x+7.$$

Умножим обе части на $x\ne 0$ и перенесём всё в одну сторону:

$$-2=-4x^{2}+7x\ \Rightarrow\ 4x^{2}-7x-2=0,\qquad D=49+32=81,\qquad x=\dfrac{7\pm 9}{8}.$$

Корни: $x_{1}=2$ — это абсцисса точки $A$, и $x_{2}=-\dfrac{2}{8}=-\dfrac{1}{4}$ — абсцисса точки $B$.

Ордината точки $B$: $f\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-2:\left(-\dfrac{1}{4}\right)=8$.

Проверим по прямой: $g\left(-\dfrac{1}{4}\right)=-4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)+7=1+7=8$ — совпало. Точка $B\left(-\dfrac{1}{4};\,8\right)$ лежит выше края рисунка, поэтому её и не видно.