Гипербола — Задание 12 ЕГЭ по математике №00042067

Нужна ордината точки $B$, а на рисунке видна только точка $A$. План такой: по точкам в узлах сетки находим $k$, $a$ и $b$, затем решаем уравнение $f(x)=g(x)$.

Масштаб: на осях подписаны $0$ и $1$, одна клетка — единица.

Точка $A$ в узле сетки: $A(-3;\,-1)$. Она лежит на гиперболе, поэтому

$$k=x\cdot y=(-3)\cdot(-1)=3,\qquad f(x)=\dfrac{3}{x}.$$

Проверим по другой ветви: правая ветвь проходит через узлы $(1;\,3)$ и $(3;\,1)$, и $1\cdot 3=3\cdot 1=3$ — верно.

Прямая проходит через отмеченную точку $(-2;\,4)$ и через $A(-3;\,-1)$. При сдвиге на одну клетку вправо (от $x=-3$ к $x=-2$) она поднимается на $4-(-1)=5$ клеток, значит,

$$a=5,\qquad b=4-5\cdot(-2)=14,\qquad g(x)=5x+14.$$

Решаем уравнение $f(x)=g(x)$:

$$\dfrac{3}{x}=5x+14\ \Rightarrow\ 3=5x^{2}+14x\ \Rightarrow\ 5x^{2}+14x-3=0.$$

$$D=14^{2}+4\cdot5\cdot3=196+60=256,\qquad x=\dfrac{-14\pm16}{10}.$$

Корни: $x_{1}=-3$ — это точка $A$, и $x_{2}=\dfrac{2}{10}=0{,}2$ — точка $B$.

Ордината $B$: $f(0{,}2)=\dfrac{3}{0{,}2}=15$.

Проверка по прямой: $g(0{,}2)=5\cdot0{,}2+14=1+14=15$ — совпало. Точка $B(0{,}2;\,15)$ находится далеко над краем рисунка, поэтому найти её можно только уравнением.