Задание 11 ЕГЭ по математике №00043585

Плот движется со скоростью течения — $4$ км/ч. По его пути найдём, сколько времени шла вся история, а значит, и сколько была в пути яхта.

Плот проплыл $52$ км: $52:4=13$ ч. Яхта вышла на $1$ час позже и вернулась в тот же момент — она была в пути $13-1=12$ ч.

Пусть скорость яхты в неподвижной воде $v$ км/ч. По течению она идёт со скоростью $v+4$, против течения — $v-4$. Путь в каждую сторону — $140$ км:

$$\dfrac{140}{v+4}+\dfrac{140}{v-4}=12.$$

Общий знаменатель $v^{2}-16$, в числителе $140(v-4)+140(v+4)=280v$:

$$280v=12(v^{2}-16)\quad\Rightarrow\quad 12v^{2}-280v-192=0\quad\Rightarrow\quad 3v^{2}-70v-48=0.$$

$D=70^{2}+4\cdot 3\cdot 48=4900+576=5476=74^{2}$. Корни: $v=\dfrac{70+74}{6}=24$ и $v=\dfrac{70-74}{6}\lt 0$.

Скорость яхты должна быть больше скорости течения, иначе против течения она не продвинулась бы. Подходит $v=24$ км/ч.

Проверим себя. Туда: $140:28=5$ ч, обратно: $140:20=7$ ч, всего $5+7=12$ ч — верно.