Задание 11 ЕГЭ по математике №00043560

У мастеров разные заказы и разная скорость работы. Время работы — это число деталей, делённое на число деталей в час. Сравним времена.

Спрашивают про первого мастера, поэтому его и обозначим: пусть он делает $x$ деталей в час. Второй делает на $5$ больше — $x+5$.

Первый на $250$ деталей тратит $\dfrac{250}{x}$ ч, второй на $230$ деталей — $\dfrac{230}{x+5}$ ч.

Первый работает медленнее, его время больше на $2$ ч $20$ мин. $20$ минут — это $\dfrac{20}{60}=\dfrac13$ ч, значит, разница $2\dfrac13=\dfrac73$ ч:

$$\dfrac{250}{x}-\dfrac{230}{x+5}=\dfrac73.$$

Умножим на $3x(x+5)$:

$$750(x+5)-690x=7x(x+5)\quad\Rightarrow\quad 60x+3750=7x^{2}+35x.$$

Перенесём всё вправо:

$$7x^{2}-25x-3750=0.$$

$D=25^{2}+4\cdot 7\cdot 3750=625+105\,000=105\,625=325^{2}$. Корни: $x=\dfrac{25+325}{14}=\dfrac{350}{14}=25$ и $x=\dfrac{25-325}{14}\lt 0$ — не подходит.

Значит, первый мастер делает $25$ деталей в час.

Проверим себя. Первый: $250:25=10$ ч. Второй делает $30$ деталей в час: $230:30=7\dfrac23$ ч $=7$ ч $40$ мин. Разница $10$ ч $-\ 7$ ч $40$ мин $=2$ ч $20$ мин — верно.