Задание 11 ЕГЭ по математике №00043559

Два мастера, у каждого свой заказ и своя скорость работы — производительность (сколько деталей в час). Время работы — это число деталей, делённое на производительность.

Пусть второй мастер делает $x$ деталей в час. Первый делает на $4$ меньше: $x-4$ деталей в час. Значит, $x\gt 4$.

Первый на заказ из $260$ деталей тратит $\dfrac{260}{x-4}$ ч, второй на $220$ деталей — $\dfrac{220}{x}$ ч.

Второй управляется на $2$ ч $40$ мин быстрее. Переведём это в часы: $40$ минут — это $\dfrac{40}{60}=\dfrac23$ ч, всего $2\dfrac23=\dfrac83$ ч. Из большего времени вычитаем меньшее:

$$\dfrac{260}{x-4}-\dfrac{220}{x}=\dfrac83.$$

Умножим обе части на $3x(x-4)$, чтобы убрать знаменатели:

$$3\cdot 260x-3\cdot 220(x-4)=8x(x-4)\quad\Rightarrow\quad 780x-660x+2640=8x^{2}-32x.$$

Соберём всё в одной части: $8x^{2}-152x-2640=0$, после деления на $8$:

$$x^{2}-19x-330=0.$$

$D=19^{2}+4\cdot 330=361+1320=1681=41^{2}$. Корни: $x=\dfrac{19+41}{2}=30$ и $x=\dfrac{19-41}{2}=-11$. Отрицательный не подходит: производительность положительна и больше $4$. Остаётся $x=30$.

Проверим себя. Второй: $220:30=7\dfrac13$ ч $=7$ ч $20$ мин. Первый делает $26$ деталей в час: $260:26=10$ ч. Разница $10$ ч $-\ 7$ ч $20$ мин $=2$ ч $40$ мин — как в условии.