Задание 11 ЕГЭ по математике №00043558

Автобус выехал на $2$ часа раньше, автомобиль догнал его в $K$, развернулся и вернулся в $A$ как раз тогда, когда автобус приехал в $Б$. Нам нужно расстояние $AK$.

Возьмём неизвестной время: пусть автомобиль ехал от $A$ до $K$ $t$ часов. Тогда $AK=65t$ км. Обратно он ехал столько же — тоже $t$ часов. Пусть скорость автобуса $v$ км/ч.

Встреча. До встречи автобус был в пути на $2$ часа больше, $t+2$ часа, и проехал те же $65t$ км:

$$v(t+2)=65t.$$

Финиш. Автобус был в пути $2+t+t=2t+2$ часа и проехал весь путь $336$ км:

$$v(2t+2)=336.$$

Чтобы убрать $v$, поделим второе равенство на первое:

$$\dfrac{2t+2}{t+2}=\dfrac{336}{65t}\quad\Rightarrow\quad 65t(2t+2)=336(t+2).$$

Раскроем скобки: $130t^{2}+130t=336t+672$, то есть $130t^{2}-206t-672=0$. Поделим на $2$:

$$65t^{2}-103t-336=0.$$

$D=103^{2}+4\cdot 65\cdot 336=10\,609+87\,360=97\,969=313^{2}$. Корни: $t=\dfrac{103+313}{130}=\dfrac{416}{130}=3{,}2$ и отрицательный $t=\dfrac{103-313}{130}$, который не подходит — время не бывает отрицательным.

Значит, $AK=65\cdot 3{,}2=208$ км.

Проверим себя. Автобус до встречи ехал $3{,}2+2=5{,}2$ ч, его скорость $208:5{,}2=40$ км/ч. Всего он был в пути $2\cdot 3{,}2+2=8{,}4$ ч и проехал $40\cdot 8{,}4=336$ км — ровно путь $AБ$.