Задание 11 ЕГЭ по математике №00042060

Пусть скорость автомобиля $v$ км/ч, а мотоциклист ехал от $A$ до $C$ $t$ ч.

Обратный путь от $C$ до $A$ — то же расстояние с той же скоростью $75$ км/ч, поэтому на него тоже ушло $t$ ч. За эти же $t$ ч автомобиль доехал от $C$ до $B$: он прибыл в $B$ в тот момент, когда мотоциклист вернулся в $A$.

Значит, $AC=75t$, $CB=vt$, а вместе это весь путь:

$$75t+vt=500.$$

Вторая связь — момент встречи в $C$. От $A$ до $C$ оба проехали одинаково, но автомобиль к этому моменту в пути на $2$ ч дольше:

$$75t=v(t+2).$$

Из первого уравнения $t=\dfrac{500}{75+v}$. Подставляем во второе и умножаем на $75+v$:

$$75\cdot500=500v+2v(75+v)\;\Rightarrow\;2v^{2}+650v-37\,500=0\;\Rightarrow\;v^{2}+325v-18\,750=0.$$

$$D=325^{2}+4\cdot18\,750=105\,625+75\,000=180\,625=425^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{-325+425}{2}=50$ и $v=\dfrac{-325-425}{2}=-375$. Скорость положительна: $v=50$ км/ч.

Проверка: $t=\dfrac{500}{125}=4$ ч, $AC=75\cdot4=300$ км. Автомобиль к встрече в пути $6$ ч и проехал $50\cdot6=300$ км — догнал верно. Мотоциклист вернулся в $A$ ещё через $4$ ч, к этому моменту автомобиль в пути $10$ ч и проехал $500$ км — как раз в $B$. Всё сходится.