Задание 11 ЕГЭ по математике №00042061

Пусть скорость автомобиля $v$ км/ч, а $AC=x$ км.

Мотоциклист проехал $x$ км до $C$ и столько же обратно со скоростью $120$ км/ч, всего $\dfrac{2x}{120}=\dfrac{x}{60}$ ч.

Автомобиль выехал на $1$ ч раньше и прибыл в $B$ в момент, когда мотоциклист вернулся в $A$. Значит, всё время автомобиля на $400$ км:

$$\dfrac{400}{v}=1+\dfrac{x}{60}.$$

Встреча в $C$: автомобиль проехал $x$ км за $\dfrac{x}{v}$ ч, мотоциклист — за $\dfrac{x}{120}$ ч, и автомобиль ехал на $1$ ч дольше:

$$\dfrac{x}{v}-\dfrac{x}{120}=1\;\Rightarrow\;x\cdot\dfrac{120-v}{120v}=1\;\Rightarrow\;x=\dfrac{120v}{120-v}.$$

Подставляем в первое уравнение: $\dfrac{x}{60}=\dfrac{2v}{120-v}$, поэтому

$$\dfrac{400}{v}=1+\dfrac{2v}{120-v}=\dfrac{120+v}{120-v}.$$

Перемножаем крест-накрест: $400(120-v)=v(120+v)$, то есть

$$v^{2}+520v-48\,000=0,\qquad D=520^{2}+4\cdot48\,000=270\,400+192\,000=462\,400=680^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{-520+680}{2}=80$ и $v=\dfrac{-520-680}{2}=-600$. Подходит $v=80$ км/ч; к тому же $80\lt 120$, иначе мотоциклист не догнал бы автомобиль.

Проверка: $x=\dfrac{120\cdot80}{40}=240$ км. Мотоциклист до $C$ ехал $2$ ч, автомобиль $3$ ч: $80\cdot3=240$ км — встреча верна. Обратно мотоциклист ехал ещё $2$ ч; автомобиль всего в пути $1+2+2=5$ ч и проехал $80\cdot5=400$ км — ровно до $B$.