Задание 11 ЕГЭ по математике №00042045

Путь не задан — обозначим его $2S$ км, каждая половина $S$ км. Пусть скорость первого $v$ км/ч. Тогда второй едет первую половину со скоростью $v-14$ км/ч, а вторую — со скоростью $84$ км/ч.

Приехали они одновременно, поэтому время первого на весь путь равно сумме времён второго на двух половинах:

$$\dfrac{2S}{v}=\dfrac{S}{v-14}+\dfrac{S}{84}.$$

Сокращаем на $S$:

$$\dfrac{2}{v}=\dfrac{1}{v-14}+\dfrac{1}{84}.$$

Умножаем обе части на $84v(v-14)$:

$$168(v-14)=84v+v(v-14).$$

Раскрываем скобки: $168v-2352=84v+v^{2}-14v$. Собираем всё в одной части:

$$v^{2}-98v+2352=0,\qquad D=98^{2}-4\cdot2352=9604-9408=196=14^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{98+14}{2}=56$ и $v=\dfrac{98-14}{2}=42$. Оба положительны и оба дают $v-14\gt 0$. По условию скорость первого меньше $50$ км/ч, значит, $v=42$ км/ч.

Проверка: при $v=42$ второй едет первую половину со скоростью $28$ км/ч. Время второго на единицу длины половины: $\dfrac{1}{28}+\dfrac{1}{84}=\dfrac{3+1}{84}=\dfrac{1}{21}$, у первого $\dfrac{2}{42}=\dfrac{1}{21}$. Совпало.