Задание 11 ЕГЭ по математике №00043557

Автобус уехал раньше, автомобиль его догнал в городе $K$ и вернулся в $A$ ровно тогда, когда автобус доехал до $Б$. Неизвестна скорость автобуса и само расстояние $AK$ — найдём связь между ними из двух моментов: встречи и финиша.

Пусть $AK=x$ км, а скорость автобуса $v$ км/ч. Все времена будем мерить в часах: полчаса — это $\dfrac{1}{2}$ ч.

Встреча в $K$. Автомобиль доехал до $K$ за $\dfrac{x}{85}$ ч. Автобус ехал до $K$ на полчаса дольше и проехал те же $x$ км:

$$v\left(\dfrac12+\dfrac{x}{85}\right)=x.$$

Финиш. Автомобиль съездил до $K$ и обратно — это $\dfrac{2x}{85}$ ч. Автобус за всё это время плюс полчаса проехал $174$ км:

$$v\left(\dfrac12+\dfrac{2x}{85}\right)=174.$$

Поделим второе равенство на первое, скорость $v$ сократится. Удобно сначала умножить скобки на $170$: $\dfrac12+\dfrac{x}{85}=\dfrac{85+2x}{170}$ и $\dfrac12+\dfrac{2x}{85}=\dfrac{85+4x}{170}$. Получаем

$$\dfrac{85+4x}{85+2x}=\dfrac{174}{x}\quad\Rightarrow\quad x(85+4x)=174(85+2x).$$

Раскроем скобки: $85x+4x^{2}=14\,790+348x$, то есть

$$4x^{2}-263x-14\,790=0.$$

$D=263^{2}+4\cdot 4\cdot 14\,790=69\,169+236\,640=305\,809=553^{2}$. Корни: $x=\dfrac{263+553}{8}=\dfrac{816}{8}=102$ и $x=\dfrac{263-553}{8}\lt 0$. Расстояние отрицательным не бывает, поэтому $AK=102$ км.

Проверим себя. Автомобиль ехал до $K$ $102:85=1{,}2$ ч, автобус — $1{,}2+0{,}5=1{,}7$ ч, значит, его скорость $102:1{,}7=60$ км/ч. Автомобиль вернулся в $A$ через $0{,}5+2\cdot 1{,}2=2{,}9$ ч после выезда автобуса, а автобус за $2{,}9$ ч проехал $60\cdot 2{,}9=174$ км — как раз до $Б$.