Задание 11 ЕГЭ по математике №00048815

Три велосипедиста едут из одного посёлка в одну сторону, но стартуют в разное время. Третий выезжает последним и по очереди догоняет второго и первого. Удобнее всего смотреть на всё с момента старта третьего.

К этому моменту первый едет уже $2$ часа и отъехал на $14\cdot2=28$ км. Второй едет $1$ час и отъехал на $11\cdot1=11$ км.

Пусть скорость третьего $x$ км/ч. Догоняя второго, он сокращает разрыв на $x-11$ км каждый час, поэтому догонит его через $\dfrac{11}{x-11}$ ч. Первого он догонит через $\dfrac{28}{x-14}$ ч — при условии, что $x\gt 14$, иначе не догонит вовсе.

Между встречами прошло $2$ ч $30$ мин $=\dfrac52$ ч:

$$\dfrac{28}{x-14}-\dfrac{11}{x-11}=\dfrac52.$$

Умножим обе части на $2(x-14)(x-11)$: $56(x-11)-22(x-14)=5(x-14)(x-11)$.

Слева $56x-616-22x+308=34x-308$, справа $5(x^{2}-25x+154)=5x^{2}-125x+770$. Получаем

$$5x^{2}-159x+1078=0,\qquad D=159^{2}-4\cdot5\cdot1078=25281-21560=3721=61^{2}.$$

Корни: $x=\dfrac{159+61}{10}=22$ и $x=\dfrac{159-61}{10}=9{,}8$. При $9{,}8$ км/ч третий не догнал бы даже второго, а первый уезжал бы от него всё дальше, так что этот корень не подходит.

Скорость третьего велосипедиста $22$ км/ч.

Проверим себя. Второго он догоняет через $11:(22-11)=1$ ч, первого — через $28:(22-14)=3{,}5$ ч. Разница $3{,}5-1=2{,}5$ ч, то есть $2$ ч $30$ мин.