Задание 11 ЕГЭ по математике №00048814

Длина пути не дана — и от неё ответ не зависит: если все расстояния увеличить в одно и то же число раз, все времена увеличатся во столько же раз, и равенство времён сохранится. Поэтому возьмём половину пути равной $78$ км — тогда вторую половину второй автомобиль проедет ровно за час.

Пусть скорость первого $v$ км/ч. Весь путь — $156$ км, первый проезжает его за $\dfrac{156}{v}$ ч.

Второй едет первую половину со скоростью $v-13$ и тратит $\dfrac{78}{v-13}$ ч, а вторую — $1$ ч. Приехали одновременно:

$$\dfrac{156}{v}=\dfrac{78}{v-13}+1.$$

Умножим обе части на $v(v-13)$: $156(v-13)=78v+v(v-13)$.

Раскрываем скобки: $156v-2028=78v+v^{2}-13v$. Собираем всё в одной части:

$$v^{2}-91v+2028=0,\qquad D=91^{2}-4\cdot2028=8281-8112=169=13^{2}.$$

Корни: $v=\dfrac{91+13}{2}=52$ и $v=\dfrac{91-13}{2}=39$. Оба больше $13$, так что скорость второго на первой половине положительна в обоих случаях. По условию скорость первого больше $48$ км/ч, значит, $v=52$ км/ч.

Проверим себя. Первый: $156:52=3$ ч. Второй: первую половину со скоростью $52-13=39$ км/ч — $78:39=2$ ч, вторую — $1$ ч, всего $3$ ч. Приехали вместе.