Global EE

Тригонометри… — Задание 10 ЕГЭ по математике №00043544

Задание №10. Задачи с прикладным содержанием

Тригонометрические уравнения и неравенства

№2. Задание 10

ID: 00043544

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0\sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2$ В, частота $\omega = 120^\circ$/с, фаза $\varphi = 45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Лампочка горит, когда напряжение $U=2\sin(120t+45)^{\circ}$ не меньше $1$ В. Разберёмся, какую часть первой секунды так происходит.

Условие: $2\sin(120t+45)^{\circ}\geqslant 1$, то есть

$$\sin(120t+45)^{\circ}\geqslant\dfrac12.$$

Угол за первую секунду меняется от $45^{\circ}$ (при $t=0$) до $120+45=165^{\circ}$ (при $t=1$).

Синус равен $\dfrac12$ при $30^{\circ}$ и при $150^{\circ}$, а между ними он больше $\dfrac12$. Наш отрезок начинается с $45^{\circ}$ — это уже внутри «хорошей» зоны. Значит, лампочка горит, пока угол не превысит $150^{\circ}$.

$$120t+45\leqslant 150,\qquad 120t\leqslant 105,\qquad t\leqslant\dfrac{105}{120}=0{,}875.$$

Лампочка горит $0{,}875$ с из одной секунды, то есть $87{,}5\%$ времени.

Проверим себя: при $t=0{,}875$ угол $105+45=150^{\circ}$, $\sin 150^{\circ}=\dfrac12$, напряжение ровно $1$ В. При $t=1$ угол $165^{\circ}$, $\sin 165^{\circ}\approx 0{,}26$ — напряжение ниже порога.

Ответ

87,5
Другие задания по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» (8)